目錄　
前言　
第1章　分數(shù)階灰色模型研究進展　1　
1.1　分數(shù)階累加灰色模型研究進展　1　
1.2　分數(shù)階導數(shù)灰色模型研究進展　6　
1.3　文獻評述　10　
第2章　分數(shù)階灰色模型理論基礎　12　
2.1　灰生成　12　
2.1.1　灰生成定義　12　
2.1.2　灰生成的矩陣形式　13　
2.2　分數(shù)階灰生成　15　
2.2.1　分數(shù)階累加生成　15　
2.2.2　Caputo型分數(shù)階導數(shù)與差分　18　
2.3　GM（1，1）模型　20　
2.3.1　GM（1，1）模型的定義　20　
2.3.2　GM（1，1）模型的矩陣表示　23　
2.4　灰色關聯(lián)度　27　
2.5　緩沖算子　31　
2.5.1　弱化算子作用下GM模型參數(shù)的矩陣估計形式　42　
2.5.2　其他類型緩沖算子與還原誤差研究　47　
2.5.3　強化緩沖算子概念　50　
2.5.4　強化算子的矩陣形式及其屬性　51　
2.5.5　強化算子作用下GM（1，1）模型參數(shù)的矩陣估計形式　55　
2.5.6　實例分析　57　
2.6　累加生成算子凸凹性　58　
2.6.1　AGO序列的凸性　58　
2.6.2　反向累加生成序列的凸性　60　
2.6.3　廣義AGO的凸性　62　
2.6.4　實例分析　64　
2.7　智能算法簡介　64
2.7.1　鯨魚算法　65　
2.7.2　量子粒子群優(yōu)化算法　66　
2.7.3　灰狼優(yōu)化　68　
第3章　分數(shù)階單變量灰色模型　73　
3.1　分數(shù)階累加GM（1，1）模型　73　
3.1.1　分數(shù)階累加GM（1，1）模型的級比界區(qū)　74　
3.1.2　分數(shù)階累加GM（1，1）模型應用　83　
3.2　離散分數(shù)階累加灰色模型　86　
3.2.1　離散分數(shù)階累加M（1，1，D）模型定義　86　
3.2.2　分數(shù)階累加GM（1，1）與分數(shù)階累加離散GM（1，1）誤差分析　88　
3.2.3　分數(shù)階累加離散灰色模型應用　92　
3.2.4　分數(shù)階累加GM（1，1）模型與分數(shù)階累加離散灰色模型應用比較　95　
3.3　分數(shù)階導數(shù)灰色模型　96　
3.3.1　分數(shù)階導數(shù)灰色模型的建立　96　
3.3.2　不同算子下的FGM（q，1）模型　102　
3.3.3　初始值變換對模型的影響　111　
3.3.4　分數(shù)階導數(shù)灰色模型的定階方法　116　
3.3.5　矩陣分解及模型關系綜述　117　
3.4　分數(shù)階導數(shù)多項式灰色模型　125　
3.4.1　分數(shù)階導數(shù)非線性灰色模型　125　
3.4.2　分數(shù)階導數(shù)多項式灰色模型的建立　126　
3.4.3　分數(shù)階導數(shù)多項式灰色模型的區(qū)間估計　127　
3.4.4　分數(shù)階導數(shù)多項式灰色模型應用　128　
第4章　分數(shù)階多變量灰色模型　132　
4.1　GM（1，N）模型　132　
4.2　時滯GM（1，N，τ）模型　135　
4.3　分數(shù)階累加GM（1，N，τ）模型　139　
4.3.1　分數(shù)階累加GM（1，N，τ）模型的建立　139　
4.3.2　非整數(shù)時滯值下模型完善　140　
4.3.3　模型階數(shù)的確定　140　
4.4　多變量分數(shù)階灰色模型　141　
4.4.1　FGM（q，N，τ）模型的建立　142　
4.4.2　FGM（q，N，τ）模型的求解　142　
4.5　灰色時滯Lotka-Volterra模型　146　
4.6　分數(shù)階導數(shù)灰色Lotka-Volterra模型　150
4.6.1　分數(shù)階導數(shù)灰色Lotka-Volterra模型的建立　150　
4.6.2　Adams-Bashforth-Moulton預估校正算法　152　
4.6.3　分數(shù)階導數(shù)灰色Lotka-Volterra模型的參數(shù)優(yōu)化　154　
4.6.4　三種群分數(shù)階灰色延遲Lotka-Volterra模型　156　
4.7　多變量灰色模型及其應用案例　160　
4.7.1　基于FGM（q，N，τ）模型油價與匯率的實證分析　160　
4.7.2　灰色時滯Lotka-Volterra模型的應用　164　
4.7.3　第三方互聯(lián)網(wǎng)在線支付與網(wǎng)上銀行的直接灰色Lotka-Volterra模型　168　
4.7.4　三種群分數(shù)階灰色延遲Lotka-Volterra模型應用　183　
第5章　分數(shù)階非線性灰色模型　191　
5.1　基于灰色作用量優(yōu)化的GM（1，1|sin）動態(tài)預測模型　191　
5.1.1　GM（1，1|sin）優(yōu)化模型的建立　191　
5.1.2　GM（1，1|sin）模型的引理　197　
5.1.3　GM（1，1|sin）動態(tài)預測模型應用　198　
5.2　波動型灰色GM（1，1|tan（k.τ）p，sin（k.τ）p）　模型　200　
5.3　泰勒逼近的非線性FGM（q，1）模型　204　
5.4　分數(shù)階導數(shù)灰色Bernoulli模型　205　
5.4.1　分數(shù)階導數(shù)灰色Bernoulli模型的建立　205　
5.4.2　分數(shù)階灰色Bernoulli模型解的性質(zhì)　207　
5.4.3　分數(shù)階導數(shù)灰色Bernoulli模型應用　208　
5.4.4　時間序列分解算法　208　
5.4.5　人工智能模型　210　
5.4.6　清潔能源的長期記憶性分析　212　
5.4.7　清潔能源產(chǎn)量建模過程　212　
5.4.8　各模型的擬合效果　215　
5.4.9　各模型的預測效果　219　
5.5　分形導數(shù)分數(shù)階灰色Riccati模型　220　
5.5.1　分形導數(shù)分數(shù)階灰色Riccati模型的建立　220　
5.5.2　預測誤差與還原誤差的關系　228　
5.5.3　基于QPSO的FDFGRM模型參數(shù)研究的多目標優(yōu)化　230　
5.5.4　FDFGRM的建模過程及偽代碼　232　
5.5.5　FDFGRM的數(shù)值模擬與應用　232　
參考文獻　244　
附錄　書中用到的部分Python代碼　264
附錄1　分數(shù)階導數(shù)灰色Bernoulli模型　264　
附錄2　分形導數(shù)分數(shù)階灰色模型　266　
附錄3　兩種群分數(shù)階Lotka-Volterra模型　269　
附錄4　三種群時滯分數(shù)階Lotka-Volterra模型　272　
附錄5　分數(shù)階導數(shù)灰色模型　275　
彩圖