第 1章微積分問題簡介1
1.1微積分學(xué)發(fā)展簡史 1
1.2本書的主要內(nèi)容 4
第 2章函數(shù)與序列 7
2.1函數(shù)與映射 8
2.1.1函數(shù)的定義與描述 8
2.1.2變量的算術(shù)運算8
2.1.3常用超越函數(shù)的 MATLAB計算9
2.1.4一般函數(shù)的 MATLAB表示 9
2.1.5匿名函數(shù)表示 10
2.1.6顯函數(shù)的圖形表示 11
2.2不同函數(shù)的 MATLAB表示 13
2.2.1反函數(shù) 13
2.2.2復(fù)合函數(shù) 14
2.2.3分段函數(shù)的描述15
2.2.4隱函數(shù) 18
2.2.5參數(shù)方程 22
2.2.6極坐標(biāo)函數(shù) 25
2.3函數(shù)的性質(zhì) 26
2.3.1奇函數(shù)與偶函數(shù)26
2.3.2函數(shù)的連續(xù)性 27
2.3.3函數(shù)的單調(diào)性 27
2.3.4函數(shù)的周期性 28
2.4特殊空間圖形與坐標(biāo)變換 30
2.4.1平面 30
2.4.2直線 32
2.4.3橢球 33
. vi .薛定宇教授大講堂（卷 II）：MATLAB微積分運算（第 2版）
2.4.4圓柱與柱面 34
2.4.5圓錐與雙曲面 35
2.4.6曲面的交線 36
2.5復(fù)變函數(shù)與映射 38
2.5.1復(fù)數(shù)矩陣及其變換 38
2.5.2復(fù)變函數(shù)的映射38
2.5.3 Riemann曲面的繪制 40
2.6序列與函數(shù)項序列 43本章習(xí)題 45
第 3章函數(shù)與序列的極限 49
3.1單變量函數(shù)的極限 50
3.1.1單變量函數(shù)極限的 ε–δ定義 50
3.1.2函數(shù)極限的計算機求解 52
3.1.3復(fù)合函數(shù)的極限54
3.1.4序列的極限 55
3.1.5分段函數(shù)的極限56
3.1.6無窮小量與無窮大量 57
3.2單邊極限與函數(shù)連續(xù)性 58
3.2.1左極限與右極限58
3.2.2函數(shù)的連續(xù)性 60
3.2.3區(qū)間極限運算 61
3.2.4函數(shù)連續(xù)性的應(yīng)用：方程解的判定 62
3.3復(fù)函數(shù)的奇點、極點與留數(shù) 64
3.3.1奇點與極點的計算 64
3.3.2復(fù)變函數(shù)的留數(shù)65
3.3.3有理復(fù)變函數(shù)的部分分式展開 67
3.4多元函數(shù)的極限 69
3.4.1累極限 69
3.4.2重極限及其計算70
3.4.3重極限的計算技巧 73本章習(xí)題 75
第 4章函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分 79
4.1函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和高階導(dǎo)數(shù) 80
4.1.1函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分 80
4.1.2函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與高階導(dǎo)數(shù) 81 4.1.3數(shù)學(xué)歸納法與 n階導(dǎo)數(shù)公式證明 84
4.1.4左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)86
4.1.5復(fù)合函數(shù)的 1階導(dǎo)數(shù) 87
4.1.6分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)88
4.1.7矩陣的導(dǎo)數(shù) 89
4.2多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 90
4.2.1偏導(dǎo)數(shù) 90
4.2.2偏微分方程的驗證 92
4.2.3全微分 93
4.2.4多元復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 94
4.2.5特殊分段函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 95
4.3參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù) 95
4.4隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 98
4.4.1單個隱函數(shù)的 1階導(dǎo)數(shù) 98
4.4.2隱函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù) 98
4.4.3隱函數(shù)方程組的偏導(dǎo)數(shù)計算100
4.5場的梯度、散度與旋度 103
4.5.1標(biāo)量場與向量場103
4.5.2標(biāo)量場的可視化103
4.5.3梯度、散度與旋度 104
4.5.4方向?qū)?shù) 106
4.5.5向量場的勢 108
4.6多元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)矩陣 109
4.6.1 Jacobi矩陣 109
4.6.2 Hesse矩陣 110
4.6.3標(biāo)量函數(shù)的 Laplace算子 110
4.7導(dǎo)數(shù)與微分的應(yīng)用 111
4.7.1極值問題 111
4.7.2 Newton–Raphson迭代方法 114
4.7.3曲線的切線與法平面 116
4.7.4曲面的切面與法線 117本章習(xí)題 119
第 5章函數(shù)的積分 123
5.1單變量函數(shù)的不定積分 124
5.1.1不定積分的數(shù)學(xué)定義 124
. viii .薛定宇教授大講堂（卷 II）：MATLAB微積分運算（第 2版）
5.1.2不定積分的計算125
5.1.3有理函數(shù)的不定積分 128
5.1.4矩陣的積分 130
5.1.5與積分相關(guān)的常用特殊函數(shù)130
5.1.6不可積問題 131
5.2定積分與廣義積分 132
5.2.1定積分 133
5.2.2對積分限函數(shù)求導(dǎo) 136
5.2.3廣義積分 136
5.2.4反常積分 137
5.3多重積分問題的 MATLAB求解 140
5.3.1多重不定積分 140
5.3.2待定多項式的構(gòu)造 141
5.3.3多重定積分 142
5.3.4積分區(qū)域的處理與變換 144
5.3.5極坐標(biāo)變換 147
5.3.6廣義重積分 149
5.4定積分的應(yīng)用 150
5.4.1曲線弧長的計算150
5.4.2旋轉(zhuǎn)體的體積計算 152
5.4.3三維圖形圍成的體積與質(zhì)量計算 152
5.4.4概率密度與分布函數(shù) 154
5.4.5積分變換入門 155
5.5曲線積分 155
5.5.1第一類曲線積分155
5.5.2第二類曲線積分158
5.6曲面積分 160
5.6.1第一類曲面積分160
5.6.2第二類曲面積分162本章習(xí)題 164
第 6章級數(shù)展開與函數(shù)逼近 168
6.1級數(shù)求和 169
6.1.1數(shù)項級數(shù)的求和169
6.1.2無窮級數(shù)求和計算 172
6.1.3函數(shù)項級數(shù)的求和 174 6.1.4特殊的無窮項問題 175
6.2無窮級數(shù)的收斂性判定 179
6.2.1正項級數(shù)的一般描述 179
6.2.2正項級數(shù)的收斂性判定 179
6.2.3交替級數(shù)的收斂性判定 182
6.2.4函數(shù)項級數(shù)的收斂區(qū)間 183
6.3序列求積問題 184
6.3.1數(shù)項序列的乘積184
6.3.2函數(shù)項序列的乘積 185
6.3.3正項序列求積的收斂性判定186
6.4 Taylor級數(shù)展開187
6.4.1單變量函數(shù)的 Taylor級數(shù) 187
6.4.2中心點選擇 189
6.4.3無窮小量的階次192
6.4.4多元函數(shù)的 Taylor級數(shù)展開 193
6.5 Fourier級數(shù)展開 195
6.5.1 Fourier級數(shù)的數(shù)學(xué)描述 195
6.5.2 Fourier級數(shù)的 MATLAB實現(xiàn) 196
6.6單變量函數(shù)的有理函數(shù)近似 199
6.6.1函數(shù)的連分式近似 199
6.6.2函數(shù)的 Padé近似 201
6.6.3函數(shù)的特殊多項式逼近 204
6.7 Laurent級數(shù)展開 206
6.7.1復(fù)變函數(shù)的 Laurent級數(shù)展開 206
6.7.2有理函數(shù)的 Laurent級數(shù) 208
6.7.3封閉曲線的積分210本章習(xí)題 212
第 7章數(shù)值導(dǎo)數(shù)與微分217
7.1數(shù)值導(dǎo)數(shù)算法 218
7.1.1前向差分與后向差分算法 218
7.1.2 o(h2)精度中心差分算法 220
7.1.3 o(h4)精度中心差分算法 222
7.1.4更高精度的中心差分公式 223
7.1.5一般高階差分公式的推導(dǎo)與計算 225
7.1.6高精度前向與后向差分算法228
. x .薛定宇教授大講堂（卷 II）：MATLAB微積分運算（第 2版）
7.2數(shù)值導(dǎo)數(shù)計算的 MATLAB實現(xiàn) 230
7.2.1 2階精度算法的實現(xiàn) 230
7.2.2 7點中心算法的實現(xiàn) 232
7.2.3前向差分?jǐn)?shù)值導(dǎo)數(shù)算法的實現(xiàn) 234
 
7.3已知樣本點的任意階數(shù)值導(dǎo)數(shù)的求解函數(shù) 235
7.4二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)計算 237
7.4.1梯度計算 237
7.4.2針對單變量的高精度偏導(dǎo)數(shù)算法 239
7.4.3混合偏導(dǎo)數(shù)的數(shù)值計算 241
7.4.4高階混合偏導(dǎo)數(shù)的數(shù)值計算242
7.5樣條插值與數(shù)值導(dǎo)數(shù)計算 243
7.5.1三次樣條 244
7.5.2 B樣條 247
7.5.3基于樣條的數(shù)值導(dǎo)數(shù)計算 249
7.5.4不等間距樣本散點的數(shù)值偏導(dǎo)數(shù)計算 251本章習(xí)題 254
第 8章數(shù)值積分 256
8.1由給定樣本點求數(shù)值積分 257
8.1.1定積分的直接計算 257
8.1.2積分函數(shù)的重建260
 
8.1.3等間距樣本點的高精度數(shù)值積分方法 261
8.2單變量數(shù)值積分問題求解 263
8.2.1簡單數(shù)值積分問題 264
8.2.2數(shù)值積分問題的 MATLAB求解265
8.2.3廣義積分的數(shù)值計算 269
8.2.4含參數(shù)函數(shù)的數(shù)值積分 271
8.2.5積分函數(shù)的數(shù)值求解 272
8.3雙重積分問題的數(shù)值解 273
8.3.1雙重定積分的計算 274
8.3.2雙重積分曲面的計算 275
8.3.3不同積分順序的雙重積分計算方法 276
8.4多重積分?jǐn)?shù)值求解 277
8.4.1三重定積分的數(shù)值求解 277
8.4.2含參數(shù)函數(shù)的三重積分 279
8.4.3基于 NIT的多重積分?jǐn)?shù)值求解 280
 
8.4.4某些變邊界多重積分問題的數(shù)值求解方法 281
8.4.5函數(shù)邊界的多重積分 282
8.5數(shù)值積分的其他計算方法 284
8.5.1基于 Monte Carlo方法的數(shù)值積分近似 284
8.5.2基于樣條插值的數(shù)值積分 286
8.5.3多重積分的數(shù)值計算 288本章習(xí)題 289
第 9章積分變換 292
9.1 Laplace變換及其反變換 293
9.1.1 Laplace變換及反變換的定義與性質(zhì) 293
9.1.2函數(shù)的卷積 294
9.1.3 Laplace變換的計算機求解 295
9.1.4有理函數(shù)的 Laplace反變換 298
9.1.5用 Laplace變換求解微分方程 300
9.2 Laplace變換問題的數(shù)值求解 302
9.2.1數(shù)值 Laplace反變換 302
9.2.2閉環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)的思想 303
9.2.3數(shù)值 Laplace變換 303
9.2.4無理系統(tǒng)的響應(yīng)計算 307
9.3 Fourier變換及其反變換307
9.3.1 Fourier變換及反變換定義與性質(zhì) 308
9.3.2 Fourier變換的計算機求解 308
9.3.3 Fourier正弦、余弦變換 310
9.3.4離散 Fourier正弦、余弦變換 312
9.3.5快速 Fourier變換 313
9.4其他積分變換問題及求解 314
9.4.1 Mellin變換 315
9.4.2 Hankel變換及求解 317
9.5 z變換及其反變換 318
9.5.1 z變換及反變換的定義與性質(zhì) 318
9.5.2 z變換的計算機求解319
9.5.3雙邊 z變換 320
9.5.4有理函數(shù) z反變換的數(shù)值求解 321本章習(xí)題 322
. xii .薛定宇教授大講堂（卷 II）：MATLAB微積分運算（第 2版）
第 10章分?jǐn)?shù)階微積分 326
10.1分?jǐn)?shù)階微積分的定義 327
10.1.1為什么要引入分?jǐn)?shù)階微積分的概念 327
10.1.2分?jǐn)?shù)階微積分的定義 328
 
10.1.3不同分?jǐn)?shù)階微積分定義的關(guān)系與性質(zhì)329
10.2 Grünwald–Letnikov定義的數(shù)值實現(xiàn) 331
10.2.1 Grünwald–Letnikov定義 331
10.2.2高精度算法與實現(xiàn) 332
10.2.3不同精度算法的定量比較 337
 
10.2.4 Riemann–Liouville微積分的解析運算 339
10.3 Caputo微積分定義的數(shù)值計算 340
10.3.1 Caputo導(dǎo)數(shù)的高精度計算 340
10.3.2 Caputo導(dǎo)數(shù)的解析運算 343
10.4 Oustaloup濾波算法及其應(yīng)用 344
10.4.1 Oustaloup濾波器近似 344
10.4.2 Caputo導(dǎo)數(shù)的濾波器近似 346
 
10.4.3基于 Simulink的 Caputo導(dǎo)數(shù)計算 347
10.5更高階導(dǎo)數(shù)與積分的數(shù)值計算349
本章習(xí)題 351
參考文獻 352
MATLAB函數(shù)名索引 355
術(shù)語索引 360