緒論 1
第1章   萬物皆數(shù) 7
1.1 數(shù)字和運(yùn)算：人類思想的偉大飛躍 9
1.2 數(shù)字分類：從復(fù)數(shù)到自然數(shù) 11
1.3 加減：最基本的數(shù)學(xué)運(yùn)算 15
1.4 向量：數(shù)字排成行、列 18
1.5 矩陣：數(shù)字排列成長方形 19
1.6 矩陣：一組列向量，或一組行向量 23
1.7 矩陣形狀：每種形狀都有特殊性質(zhì)和用途 25
1.8 矩陣加減：形狀相同，對應(yīng)位置，批量加減 26
第2章   乘除 29
2.1 算術(shù)乘除：先乘除，后加減，括號內(nèi)先算 31
2.2 向量乘法：標(biāo)量乘法、向量內(nèi)積、逐項積 34
2.3 矩陣乘法：最重要的線性代數(shù)運(yùn)算規(guī)則 36
2.4 矩陣乘法第一視角 40
2.5 矩陣乘法第二視角 43
2.6 矩陣除法：計算逆矩陣 46
第3章   幾何 49
3.1 幾何緣起：根植大地，求索星空 51
3.2 點動成線，線動成面，面動成體 54
3.3 角度和弧度 60
3.4 勾股定理到三角函數(shù) 62
3.5 圓周率估算初賽：割圓術(shù) 64
第4章   代數(shù) 69
4.1 代數(shù)的前世今生：薪火相傳 71
4.2 集合：確定的一堆東西 72
4.3 從代數(shù)式到函數(shù) 75
4.4 楊輝三角：代數(shù)和幾何的完美合體 79
4.5 排列組合讓二項式系數(shù)更具意義 82
4.6 楊輝三角隱藏的數(shù)字規(guī)律 85
4.7 方程組：求解雞兔同籠問題 86
第5章   笛卡兒坐標(biāo)系 91
5.1 笛卡兒：我思故我在 93
5.2 坐標(biāo)系：代數(shù)可視化，幾何參數(shù)化 94
5.3 圖解“雞兔同籠”問題 100
5.4 極坐標(biāo)：距離和夾角 102
5.5 參數(shù)方程：引入一個參數(shù) 103
5.6 坐標(biāo)系必須是“橫平豎直的方格”？ 104
第6章   三維坐標(biāo)系 107
6.1 三維直角坐標(biāo)系 109
6.2 空間平面：三元一次方程 110
6.3 空間直線：三元一次方程組 114
6.4 不等式：劃定區(qū)域 117
6.5 三大類不等式：約束條件 120
6.6 三維極坐標(biāo) 126
第7章   距離 131
7.1 距離：未必是兩點間最短線段 132
7.2 歐氏距離：兩點間最短線段 134
7.3 點到直線的距離 140
7.4 等距線：換個視角看距離 144
7.5 距離間的量化關(guān)系 146
第8章   圓錐曲線 149
8.1 圓錐曲線外傳 150
8.2 圓錐曲線：對頂圓錐和截面相交 152
8.3 正圓：特殊的橢圓 155
8.4 橢圓：機(jī)器學(xué)習(xí)的多面手 157
8.5 旋轉(zhuǎn)橢圓：幾何變換的結(jié)果 160
8.6 拋物線：不止是函數(shù) 164
8.7 雙曲線：引力彈弓的軌跡 166
第9章   深入圓錐曲線 169
9.1 圓錐曲線：探索星辰大海 171
9.2 離心率：聯(lián)系不同類型圓錐曲線 172
9.3 一組有趣的圓錐曲線 173
9.4 特殊橢圓：和給定矩形相切 175
9.5 超橢圓：和范數(shù)有關(guān) 179
9.6 雙曲函數(shù)：基于單位雙曲線 184
9.7 圓錐曲線的一般形式 186
第10章   函數(shù) 191
10.1 當(dāng)代數(shù)式遇到坐標(biāo)系 193
10.2 一元函數(shù)：一個自變量 194
10.3 一元函數(shù)性質(zhì) 197
10.4 二元函數(shù)：兩個自變量 202
10.5 降維：二元函數(shù)切一刀得到一元函數(shù) 205
10.6 等高線：由函數(shù)值相等點連成 208
第11章   代數(shù)函數(shù) 211
11.1 初等函數(shù)：數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ) 212
11.2 一次函數(shù)：一條斜線 214
11.3 二次函數(shù)：一條拋物線 218
11.4 多項式函數(shù)：從疊加角度來看 221
11.5 冪函數(shù)：底數(shù)為自變量 224
11.6 分段函數(shù)：不連續(xù)函數(shù) 228
第12章   超越函數(shù) 231
12.1 指數(shù)函數(shù)：指數(shù)為自變量 233
12.2 對數(shù)函數(shù)：把連乘變成連加 235
12.3 高斯函數(shù)：高斯分布之基礎(chǔ) 238
12.4 邏輯函數(shù)：在0和1之間取值 240
12.5 三角函數(shù)：周期函數(shù)的代表 243
12.6 函數(shù)變換：平移、縮放、對稱 246
第13章   二元函數(shù) 251
13.1 二元一次函數(shù)：平面 253
13.2 正圓拋物面：等高線為正圓 257
13.3 橢圓拋物面：等高線為橢圓 260
13.4 雙曲拋物面：馬鞍面 264
13.5 山谷和山脊：無數(shù)極值點 265
13.6 錐面：正圓拋物面開方 267
13.7 絕對值函數(shù)：與超橢圓有關(guān) 269
13.8 邏輯函數(shù)：從一元到二元 272
13.9 高斯函數(shù)：機(jī)器學(xué)習(xí)的多面手 274
第14章   數(shù)列 277
14.1 芝諾悖論：阿基里斯追不上烏龜 279
14.2 數(shù)列分類 281
14.3 等差數(shù)列：相鄰兩項差相等 282
14.4 等比數(shù)列：相鄰兩項比值相等 284
14.5 斐波那契數(shù)列 287
14.6 累加：大寫西格瑪 288
14.7 數(shù)列極限：微積分的一塊基石 299
14.8 數(shù)列極限估算圓周率 301
第15章   極限和導(dǎo)數(shù) 305
15.1 牛頓小傳 307
15.2 極限：研究微積分的重要數(shù)學(xué)工具 308
15.3 左極限、右極限 310
15.4 幾何視角看導(dǎo)數(shù)：切線斜率 312
15.5 導(dǎo)數(shù)也是函數(shù) 315
第16章   偏導(dǎo)數(shù) 323
16.1 幾何角度看偏導(dǎo)數(shù) 325
16.2 偏導(dǎo)也是函數(shù) 329
16.3 二階偏導(dǎo)：一階偏導(dǎo)函數(shù)的一階偏導(dǎo) 330
16.4 二元曲面的駐點：一階偏導(dǎo)為0 333
第17章   微分 337
17.1 幾何角度看微分：線性近似 338
17.2 泰勒級數(shù)：多項式函數(shù)近似 340
17.3 多項式近似和誤差 343
17.4 二元泰勒展開：用多項式曲面近似 348
17.5 數(shù)值微分：估算一階導(dǎo)數(shù) 352
第18章   積分 355
18.1 萊布尼茨：既生瑜，何生亮 357
18.2 從小車勻加速直線運(yùn)動說起 357
18.3 一元函數(shù)積分 358
18.4 高斯函數(shù)積分 361
18.5 誤差函數(shù)：S型函數(shù)的一種 362
18.6 二重積分：類似二重求和 363
18.7 “偏積分”：類似偏求和 365
18.8 估算圓周率：牛頓法 367
18.9 數(shù)值積分：黎曼求積 371
第19章   優(yōu)化入門 377
19.1 優(yōu)化問題：尋找山峰、山谷 379
19.2 構(gòu)造優(yōu)化問題 380
19.3 約束條件：限定搜索區(qū)域 383
19.4 一元函數(shù)的極值點判定 389
19.5 二元函數(shù)的極值點判定 393
第20章   概率入門 401
20.1 概率簡史：出身賭場 402
20.2 二叉樹：一生二、二生三 403
20.3 拋硬幣：正反面概率 407
20.4 聊聊概率：向上還是向下 409
20.5 一枚質(zhì)地不均勻的硬幣 411
20.6 隨機(jī)中有規(guī)律 413
第21章   統(tǒng)計入門 417
21.1 統(tǒng)計的前世今生：強(qiáng)國知十三數(shù) 418
21.2 散點圖：當(dāng)數(shù)據(jù)遇到坐標(biāo)系 419
21.3 均值：集中程度 421
21.4 標(biāo)準(zhǔn)差：離散程度 424
21.5 協(xié)方差：聯(lián)合變化程度 425
21.6 線性相關(guān)系數(shù)：線性關(guān)系強(qiáng)弱 429
第22章   向量 435
22.1 向量：有大小、有方向 436
22.2 幾何視角看向量運(yùn)算 439
22.3 向量簡化距離運(yùn)算 441
22.4 向量內(nèi)積與向量夾角 443
22.5 二維到三維 445
22.6 投影：影子的長度 446
第23章   雞兔同籠1 453
23.1    從雞兔同籠說起 454
23.2    “雞”向量與“兔”向量 456
23.3    那幾只毛絨耳朵 459
23.4    “雞兔”套餐 460
23.5 套餐轉(zhuǎn)換：基底轉(zhuǎn)換 463
23.6 豬引發(fā)的投影問題 464
23.7 黃鼠狼驚魂夜：“雞飛兔脫”與超定方程組 466
第24章   雞兔同籠2 469
24.1 雞兔數(shù)量的有趣關(guān)系 470
24.2 試試比例函數(shù)：y = ax 471
24.3 最小二乘法 473
24.4 再試試一次函數(shù)：y = ax b 477
24.5 再探黃鼠狼驚魂夜：超定方程組 479
24.6 統(tǒng)計方法求解回歸參數(shù) 483
第25章   雞兔同籠3 485
25.1    雞兔互變奇妙夜 486
25.2    第一視角：“雞/兔→雞”和“雞/兔→兔” 489
25.3    第二視角：“雞→雞/兔”和“兔→雞/兔” 491
25.4 連續(xù)幾夜雞兔轉(zhuǎn)換 493
25.5 有向量的地方，就有幾何 496
25.6    彩蛋 498