目 錄
第一章 方程的推導和定解條件………………………………………………… 1
§1.1 弦振動方程和定解條件 …………………………………………… 1
§1.2 薄膜的振動和定解條件 …………………………………………… 7
§1.3 熱傳導方程和擴散方程…………………………………………… 11
§1.4 電報方程…………………………………………………………… 15
§1.5 流體力學方程和聲波方程………………………………………… 18
§1.6 彈性波方程………………………………………………………… 22
§1.7 靜電場……………………………………………………………… 30
§1.8 穩(wěn)定電流的電場…………………………………………………… 34
§1.9 穩(wěn)定電流形成的磁場……………………………………………… 38
§1.10 交變電磁場和 Maxwell方程組 ………………………………… 42
習題一 ……………………………………………………………………… 50
第二章 波動方程 ……………………………………………………………… 53
§2.1 行波法解一維齊次波動方程的初值問題………………………… 53
§2.2 非齊次波動方程初值問題的解和Duhamel原理 ……………… 63
§2.3 直接積分法解一維波動方程的初值問題………………………… 67
§2.4 特征線法解波動方程的初值問題………………………………… 71
§2.5 Fourier積分變換法解一維波動方程的初值問題 ……………… 75
§2.6 Laplace變換解一維波動方程的初值問題 ……………………… 79
*§2.7 周期函數(shù)的Fourier級數(shù)展開 …………………………………… 83
§2.8 分離變量法解一維波動方程的混合初值、邊值問題 …………… 94
習題二……………………………………………………………………… 110
第三章 二、三維空間中的波動方程 ………………………………………… 115
§3.1 二、三維空間中波動方程初值問題的解………………………… 115
§3.2 非齊次波動方程初值問題的解 ………………………………… 125
*§3.3 Fourier積分變換法解三維空間波動方程初值問題…………… 126
§3.4 點源輻射解及在解波動方程初值問題中的應用 ……………… 131
§3.5 波動方程初值問題和混合初值、邊值問題解的唯一性………… 137
習題三……………………………………………………………………… 146
第四章 熱傳導方程…………………………………………………………… 149
§4.1 Fourier積分變換解熱傳導方程的初值問題…………………… 149
§4.2 Fourier正弦或余弦變換解半無限區(qū)間上的熱傳導方程的
混合初值、邊值問題……………………………………………… 155
§4.3 有限區(qū)間上熱傳導方程的混合初值、邊值問題………………… 168
§4.4 Laplace變換解有限區(qū)間上熱傳導方程的混合初值、邊值
問題 ……………………………………………………………… 170
*§4.5 一維熱傳導方程初值問題的周期解 …………………………… 176
§4.6 熱傳導方程解的值原理和唯一性定理 …………………… 179
習題四……………………………………………………………………… 181
第五章 調(diào)和方程……………………………………………………………… 185
§5.1 分離變量法解圓域上調(diào)和方程的Dirichlet問題 ……………… 185
§5.2 Fourier積分變換解半平面上調(diào)和方程邊值問題……………… 194
§5.3 調(diào)和函數(shù)的積分表示式 ………………………………………… 195
§5.4 Green函數(shù)和Poisson公式……………………………………… 201
§5.5 Green函數(shù)的性質(zhì) ……………………………………………… 208
§5.6 調(diào)和方程第二、第三邊值問題…………………………………… 214
§5.7 調(diào)和函數(shù)的性質(zhì) ………………………………………………… 219
習題五……………………………………………………………………… 225
第六章 二階線性偏微分方程概論…………………………………………… 228
§6.1 基本概念 ………………………………………………………… 228
§6.2 二階方程的分類 ………………………………………………… 230
§6.3 二階方程的特征理論 …………………………………………… 239
§6.4 推廣的Green公式及應用 ……………………………………… 248
§6.5 三類方程的總結(jié) ………………………………………………… 258
習題六……………………………………………………………………… 264
附錄1 Fourier變換與Laplace變換 ………………………………………… 266
附錄2 Fourier變換與Laplace變換簡表 …………………………………… 277
附錄3 Γ函數(shù) ………………………………………………………………… 280
習題參考答案 ………………………………………………………………… 285
參考文獻………………………………………………………………………… 301