第一節(jié) 同余運算
[一]
在易學中，我們討論八卦的排列規(guī)律，首先想到的往往就是先天八卦的爻象對稱排列，有了這種先入之見，我們自然會用先天八卦的規(guī)律來判斷后天八卦的規(guī)律。
欲擺脫成見，我們必須引入新的思想來平等的定義先后天八卦的共同規(guī)律--眾所周知，“圓”是一個形式與內(nèi)容的完美的象征，它的構成只要滿足下面兩個條件中的任何一種就可以了。它們是：
條件一：在某個“環(huán)形物”中，而此“環(huán)形物”的邊界上的任何一點距中心點的距離如果完全相等，那么，此物即為“圓”--具體地說：“圓”的直徑處處相等。
我們?nèi)缬媚撤N分立的、離散的結構來模似一個“圓”，那么，只要滿足此條件即可稱之為“圓”--很顯然，先天八卦和洛書是可以滿足上述條件的。
在洛書的數(shù)陣中，無論是用哪一條直線〔即直徑〕把三組離散的洛書數(shù)連起來，其直線上的數(shù)字和皆為“15”。故洛書是“圓”的一種數(shù)值模擬結構。
先天八卦也是一樣，只是操作略有不同。我們知道，同一直徑的兩個半徑，實際上是兩個矢量，其絕對值〔?！畴m然相等〔等於半徑Ｒ〕，但其極性卻截然相反。若此二矢量相互作用，將會泯滅極性。先天八卦即有此特性：把兩對待之卦相互作用，則各爻極性完全泯滅，所以先天八卦也是“圓”的一種符號模擬結構。
條件二：在某個“環(huán)狀物”中，如果此“環(huán)狀物”的邊界是一種連續(xù)的光滑的過渡狀態(tài)，即此物體的邊界沒有非連續(xù)性的凹凸出現(xiàn)，那么該物體就一定是“圓”，因“圓”邊界處處光滑，比如，我們常見的“平面幾何圓”的邊界就是光滑無凹凸的。
后天八卦是用五行的連續(xù)相生來體現(xiàn)“條件二”的，故后天八卦也是一種“圓”的模擬結構，并且二八易位后的洛書也是一種滿足條件二“模擬圓”。
[二]
大家可能會警惕地說，后天八卦的五行連續(xù)相生在八宮是非連續(xù)的過渡態(tài)，也就是說它是有破缺的；在形態(tài)上此處非凹即凸，它絕不是完美的模擬“圓”，因為它沒有最徹底的對稱性存在。
可問題是：雖然先天八卦以一種局域對稱的形式來模擬了“圓”，但是，如果反過來用“條件二”中的規(guī)則來要求先天八卦，先天八卦也會明顯地出現(xiàn)破缺--即先天八卦的男女長幼秩序是不光滑的、非連續(xù)性的，它在“震、巽”二卦上有了破缺，正如我們在《理部·第一章》所見到的那樣。
如果我們在實踐運用中只采用后天八卦〔或先天八卦〕這一種機制來操作的話，是肯定不行的。比如，在卜筮中對某種事物作出吉兇判斷，一般都是用后天的五行生克的“旺、相、休、囚”來決定的，但純粹的五行生克能否完全描述事物吉兇是肯定不完全的，故后天邏輯在分析事物吉兇中的不完全是可用先天數(shù)理邏輯來補救的--這就是我們需要引入“刑、沖、合、害”的由來。
學易的人都知道，“刑、沖、合、害”是一種超越五行生克的運算規(guī)則；也就是說“刑、沖、合、害”規(guī)則同五行生克規(guī)則沒有聯(lián)系，它是對五行生克規(guī)則的補充，其原理來自於先天八卦的數(shù)理思維。
現(xiàn)在，我們想問的是：作為與五行生克對待的補充性的運算規(guī)則應有多少種才合理呢？根據(jù)在前文中提到的公理極限原理，作者認為一共得有五種，即：刑、沖、合、害、比。此五種地支中的相互作用的運算規(guī)則，我們稱之為“肆互壹局”，即“肆互”--互刑、互沖、互合、互害；“壹局”--比和之局。
我們說肆互壹局是一種先天數(shù)理化邏輯運算規(guī)則，這一結論是完全可以從數(shù)理化的運算規(guī)則中得到證明的。
沖--
在《六壬大全》有云：“沖者動也，格也。其法以十二支環(huán)列，陰陽各相為沖。凡沖主動移，反復不寧。”六沖配洛書圖如下：
[圖，地支六沖與洛書]
地支六沖用加法運算可得：
子午相沖→1+9＝10
丑未相沖→8+2＝10
寅申相沖→8+2＝10
卯酉相沖→3+7＝10
辰戍相沖→4+6＝10
巳亥相沖→4+6＝10
六沖相加俱化“10”，相當于化“零”〔即以10為模同余0〕。“10”為中宮之數(shù)。也就是說，兩支互沖之后，兩支都進入了中宮而“消失”“空亡”，也即兩支相互格斗而“散”。作為八卦的整數(shù)化二維坐標圖洛書來說，中宮之數(shù)“5”、“10”和“零”是等價的，它們都代表坐標的中心原點。六沖所化之數(shù)同余“零”，“零者”氣散之象，泯滅之象。此外，六沖在此幾何圖中是旋轉對稱之象；象數(shù)俱對稱，故具有共同的“格斗”、“中和”的性質(zhì)。
合--
六合指兩種陰陽和五行所屬都不相同的地支相互合二為一，此地支六合關系可以用圖5.2示之。
[圖，地支六合與洛書]
地支六合有很多平行線，是“平行對稱性”的體現(xiàn)，而能夠滿足“平行對稱性”的各種組合之間是平行等價關系。其等價的作用量，須先將二數(shù)相乘，然后求同余：
子丑合→1×8＝8 →化8
寅亥合→8×6＝48 →化8
卯戌合→3×6＝18 →化8
辰酉合→4×7＝28 →化8
巳申合→4×2＝8 →化8
午未合→9×2＝18 →化8
六合用洛書數(shù)相乘化“8”〔即以“10”為模同余“8”〕，“8”為艮八宮生門之數(shù)，而艮八宮是后天八卦的奇點，奇點有“自我相關、自我纏繞、合二為一”之義，故稱相合。又生門為創(chuàng)生之門，吉由此生，兇亦由此生，故卜筮中喜事宜合，越合越好；兇事忌合，合則經(jīng)久難散。
天干也有相合現(xiàn)象。由於天干與地支是對立的邏輯系統(tǒng)，故其化合的幾何形式與地支的化合形式相對立，即天干以“對沖為合”。見圖。
[圖，天干之六合與六沖]
圖注：①甲己相合、乙庚相合、丙辛相合、丁壬相合、戊癸相合；②在圖表，甲戊同體為自我相關、合二為一，而甲庚、乙辛、丙辰、丁癸之相互作用與此相同，照理也應當是相合，但恰恰相反，而為相沖；反之亦然。③圖中天干連線上俱有一組相沖，唯“戊、己”兩干沒有對沖--左圖“甲戊”同體，右圖“己、辛”同宮，這是由“戊、己”在“二、八”宮之奇性所造成的。
對於天干系統(tǒng)與地支系統(tǒng)的對立性，看來古人是有深刻理解的。如在六爻納甲中的地支運算，四季與爻的旺衰關系是：同我者旺，我生為相，我克者為死，克我者休，生我者囚。如春季為木，逢木支為旺，逢火支為相，逢土支為死，逢金支為休，逢水支為囚。見圖。
[圖，五行旺衰表]
而奇門遁甲“九星”的旺衰正如與上述規(guī)定相反，卻是：我生者旺，同我者相，生我者死，我克者囚，克者我囚。
[圖，九星之旺衰]
這種不同的規(guī)定就是對立邏輯所造成的。
害--
害者，阻害、妨害之義。它與合不同，合是指兩物體相互合在一起，而害則是指兩量相互妨害。其義與合相反，其數(shù)理表現(xiàn)也不同，它與相合是相互垂直的。見圖。
[圖，六害與洛書]
圖注：如果我們從更深的層去理解，相害也是一種“相合”。六合化艮八宮生門之數(shù)，六害化坤二宮死門之數(shù)，“陽之所生，陰之所死；陰之所生，陰之所死”。所謂生和死并不是極性的泯滅，而是純陽和純陰兩種極性的轉換。真正的極性泯滅是沖，故古以合與沖互相對立，而不是合與害對立。易學邏輯為扶陽抑陰的陽手征，故取化生門之數(shù)的組合關系為相合，而化死門之數(shù)的相互關系為相害。嚴格地講六合是合在一起滋生陽氣而疏泄陰氣，六害是合在一起疏泄陽氣而滋生陰氣。故害也可稱之為“畸合”。
相害也是一組平行對稱圖。依數(shù)理析之：
[圖]
子未相害→1×2＝ 2 →化2
丑午相害→8×9＝72 →化2
寅己相害→8×4＝32 →化2
卯辰相害→3×4＝12 →化2
申亥相害→2×6＝12 →化2
酉戌相害→7×6＝42 →化2
相害同化坤二宮死門之數(shù)，故為“妨害”。
從人類的功利觀點出發(fā)，吉爻宜合不宜害，兇爻宜害而不宜合。六合和六害若逢沖，其生死之合俱散。
刑--
刑者傷也，殘也。地支中的兩刑只有子卯無禮之刑，三刑有巳申寅恃勢之刑，丑戊未無恩之刑。此外還有辰午酉亥自相刑。
根據(jù)對稱性原理，兩刑除了子卯相刑之外，還應當有五對相刑，共湊成六刑，如圖所示。
[圖，地支之“六刑”]
為什么只取“子卯相刑”而不取“丑寅相刑、亥辰相刑、戌巳相刑、酉午相刑”及“申未相刑”呢？這得從自洽條件定則說起。
我們把肆互壹局看成是一種完備的運算體系，也就是說，肆互壹局可以把地支中所有超越五行生克的相互作用關系全部補充完備。
肆互壹局自身實際上也是一種“五行自洽系統(tǒng)”，在本篇第一章里我們已經(jīng)指出了這個道理。既然肆互壹局被看成是自洽的，那么此系統(tǒng)內(nèi)部一定會有“遁甲現(xiàn)象”，即系統(tǒng)中的某種運算規(guī)則的數(shù)理來由很難用一種特定的邏輯解釋徹底--在五行生克中是木和土，而在肆互壹局里則是刑和比，其中刑的奇性是由比帶來的。
所謂比，即指比肩、比和。如寅與寅，申與申、巳與巳等都稱比。因此我們可以把“相比”看成是一種“得中”的五行關系。
從某種意義上來講，“相比”不是五行運算--它既不能用五行的相生、相克來解釋，又不能通過洛書數(shù)理運算來解釋。很顯然，元素之間的運算出現(xiàn)了的“相比”，就等于是出現(xiàn)了某種“自我相關”關系。
“相比”欲成為一種真正的五行運算，必須通過中道極化原理分化成兩種對立的地支運算規(guī)則--三刑和三合局，肆互壹局的奇性就是由此引出的。
我們已得知，四種相互作用關系是不可能形成一個自洽系統(tǒng)的，換言之，四種相互作用關系不夠，但如果引進第五種相互作用又會顯得過多，且奇性因此而出現(xiàn)。
我們可以用前文中的根號矩形來作比方。假定我們手中基本的“ 、 、 、 、 矩形”，我們欲用此四種矩形來構成無限多種連續(xù)變化的任一矩形，但肯定不夠。我們可以增添第五個根號矩形〔 〕來補充，但這樣一來，根號矩形就會顯得多了，并且最奇怪的事必定會發(fā)生：由於引進了 矩形，於是在 中有了“五行”中的黃金分割所帶來的奇性，第四種根號矩形〔 〕就得換成黃金矩形才能完備自洽。於是你的完備的自洽的矩形就變成了 矩形、 矩形、 矩形、黃金矩形、 矩形。
故此邏輯理論中的四種就變成了五種。但我們卻說：黃金矩形是 矩形的替身，在模擬無限種矩形時，有時是 、 、 和黃金矩；有時是 矩形、 矩形、 矩形和 矩形，這就是說，你得有五個矩形，而在具體使用中你只用四個就夠了。黃金矩和 矩形的關系就相當於甲戊同體或曰甲遁於戊?？捎孟聢D示意：
[圖，基本矩形與出入互補]
這個比方，我們可以借來理解四五壹局中刑與比之間的關系。
我們知道，在沖、合、害、刑中，互沖、互害、互合各是六組，且數(shù)理上的來由也基本相同，互刑雖也可以組成六組，但數(shù)理規(guī)律不一致，如下：
丑寅刑→8×8＝64 →化4〔杜門數(shù)〕
子卯刑→1×3＝3 →化3〔傷門數(shù)〕
亥辰刑→6×4＝24 →化4〔杜門數(shù)〕
戌巳刑→6×4＝24 →化4〔杜門數(shù)〕
酉午刑→7×9＝63 →化3〔傷門數(shù)〕
申未刑→2×2＝ 4 →化4〔杜門數(shù)〕
而比肩本身無法斷定它是一種什么性質(zhì)的運算，故比肩可由中道極化成兩種運算規(guī)則：一種是三合化局，一種是“三刑”〔包括巳申寅恃勢之刑、丑戌未無恩之刑、辰午酉亥自相刑〕用三刑代替了所謂的“寅丑、亥辰、戌巳、酉午、申未”之類的兩兩相刑。三刑和三合化局似乎不遵守“肆互”的數(shù)理規(guī)則：三刑是數(shù)理的變異之數(shù)，而三合局是幾何三角式作用力關系的取用。且三合局即為“比和”之義，它是指三個地支放在一起相互作用，就可以把三個地支看成是一個地支，或曰“合三為一”。
比局〔即三合化局〕就好比是 矩形，把它引入就導致了兩兩相刑的變化。當然，相刑現(xiàn)在還是兩兩相刑的一種，而比局卻有三合局，因此欲有“得中”之性，必得有一種東西同它相對立，它就是三刑。刑者，道不同必相異、必相殘之意，與三合局之合意正相反。有了三刑組合之后，兩兩相刑的組合就如同 矩形一樣被替代，只是此處是用三刑來替代兩兩相刑組合。這時，兩兩相刑只剩下子卯相刑一組，於是奇性被消除，自洽系統(tǒng)得以建立，肆互壹局的真實面孔即成了這種重組關系。
肆互壹局之間的轉化關系可用圖示意。
[圖，肆互壹局出入互補]
三合局--
三合局也是一組旋轉對稱的正三角形，見圖。
[圖，三合局與洛書]
三合局可以看成三個作用力的合力，而在力學中，正三角形是最穩(wěn)定的合力。而所合成三局的五行屬性之所以相當於四正的屬性是由於四正之支“氣純”，而四隅之支“氣雜”。四正之卦有一支，故氣純，四隅之卦各配兩支故其氣雜。
三合局除了可以用唯象的手法解釋外，還有數(shù)理上的規(guī)律：
申子辰合水→2×4×1＝8 →化8宮
寅午戌合火→8×9×6＝432 →化2宮
亥卯未合木→6×3×2＝36 →化6宮
巳酉丑合金→4×8×7＝224 →化4宮
上面三合局之化數(shù)所在之宮之五行與各局的五行不同，這是有原因的。我們在前面的運算可以看出，能夠形成有對稱規(guī)律的化數(shù)只有四個，即“2、4、6、8”。這是為什么？這是因為數(shù)理運算屬於先天邏輯；先天邏輯中的木火金水居四正，土在中宮，而土干戊己的數(shù)理運算要寄宮之后才得以實現(xiàn)，所以先天之數(shù)理運算只有四種，即金木水火。
六沖、六合、六害里有三種運算結果：六沖進入中宮，六合和六害進入二八宮，中宮為未分化的原始奇點，二八宮為分化之后的奇點，所以六沖、六合、六害里不存在著什么五行化數(shù)的區(qū)別，古人雖有子丑合化土、寅亥合化木、卯戌合化火、辰酉合化金、巳申合化水、午未為太陽太陰之說，但在具體運用中卻形同虛設，從來沒有人去真正理會它。這本來就是一種錯誤的拼湊，換言之六合的地支之間根本不存在著什么五行的區(qū)別。
三合局則不同，四土支已經(jīng)分別寄入了四個合局，四個合局是有五行區(qū)別的，也就是說個四合局是典型的先天數(shù)理關系；而后天八卦的宮位本身體現(xiàn)不出先天數(shù)理關系，它只體現(xiàn)在太乙進位后的太乙八卦的宮位上。太乙宮位為什么有先天數(shù)理關系呢？因為先天奇點為震卦，后天奇點為艮卦，太乙八卦左旋一宮，艮卦進入震宮，艮震之宮位合一，故有了先天之數(shù)理關系。
明白此理之后，三合局之化數(shù)〔即移宮〕就好理解了。
申子辰合局，化“8”宮之數(shù)，太乙宮位八宮為坎，為水局；
寅午戌合局，化“2”宮之數(shù)，太乙式宮位二宮為離，為火局。
亥卯未合局化“6”宮之數(shù)，巳酉丑化“4”宮之數(shù)。太乙宮位里“6”宮為乾為金，“4”宮為震為木，金木之局正好相反，這是為什么呢？
這是因為震木為奇點，必須反相顛倒方能保證其邏輯的一致性，故四六宮之五行互換方可吻合四個合局之五行，這一原則將貫穿在本書整個數(shù)理分析之中。我們在“三會局”和四柱神煞的取用中可看到這一原則的應用。
三會局--
[圖，三會局與洛書]
亥子丑會水局→6×1×8＝48 →化8宮為水行
巳午未會火局→4×9×2＝72 →化2宮為火行
寅卯辰會木局→8×3×4＝96 →化6宮為金行
申酉戌會金局→2×7×6＝84 →化4宮為木行
三會局之化數(shù)與三合局全部相同，也是金木局需反相方可一一對應〔肆互壹局的數(shù)理規(guī)律在下文中的“復數(shù)散陣”有進一步的說明〕。
三刑--
如果把三刑的相互作用全部配到洛書中，可以得到一個詭異的對稱圖象見圖。
[圖，三刑與洛書]
從此圖可以看出，三刑的相互作用是以二八宮為對稱軸形成的對稱圖，每一個三支相刑各支，再加上子卯刑和自刑，則把十二地支全部刑完，故三刑是三合局的反動。
三支相刑的各支主要集中在二八宮，這是有原因的。一則，二八宮是奇點之宮，奇點處被攪動就會引起整個局勢的強烈反響；二則，其化數(shù)也有規(guī)律：
巳申寅三刑→8×4×2＝64 →化4
丑戌未三刑→8×6×2＝96 →化6
太乙宮位中“4”宮為震卦，“6”宮為兌卦，如果震兌歸位，則震為傷門，兌為驚門，故它們俱有刑傷之象。
[二]
八卦對沖--
肆互壹局中的數(shù)理規(guī)律，因其屬先天邏輯，故我們可以再用先天八卦去分析。
我們前面已提到，地支之六沖俱化中宮之數(shù)“10”或是“零”，這在后天八卦中是看不出這種“化中宮”的跡象的。若在先天八卦里則十分明顯了。因為先天八卦對待之卦各爻極性全部相反〔 對 、 對 、 對 、 對 〕，相互作用時陰陽極性全部泯滅變成中和“零態(tài)”。陰陽極性泯滅，意味著沒有信息出入，處於死寂狀態(tài)。也可認為兩卦對沖后離開了八宮而進入中宮，從而消失，滅亡，“沖散”。
八卦之合--
先天八卦相合，我們可以仿六合六害之法作出下圖：
[圖，先天八卦的相合關系]
八卦之合有四組：震坤相合，離艮相合，兌坎相合，乾巽相合。它們的化數(shù)也是“8”；換言之，是奇點震卦，為創(chuàng)生之象。從卦象上看，的確也有合而為一的自我相關之象。
我們知道，兩個卦相互作用就會各自產(chǎn)生變化，而八卦之變是從初爻變起的。相合之卦都有一個共同特點：上兩爻全同，而初爻相異。若各卦初爻陰陽極性發(fā)生變化，便會馬上變?yōu)橄嗪现浴Ｒ岳ふ鹣嗪蠟槔?br />
震卦之初爻由陽變陰即成坤卦；坤卦之初爻由陰變陽即成震卦 。
余可類推。
此外，地支六合中巳申合被稱為“刑合”；為什么它既刑又合？這是有原由的，因為四隅之卦都配上了兩個地支，從地支的角度看，地支似乎是十二個量，而從八卦的角度看，卻只允許有八個量，只不過是四隅各卦分別被配上了兩個地支。如果地支六合按八個量構成對稱圖，則“巳申”相合和“寅亥相合”便會出現(xiàn)不協(xié)調(diào)的雜音，見圖：
[圖，巳申刑合與洛書]
從十二地支各自分立的角度看，巳申、寅亥是標準的相合，即數(shù)理相合圖像也相平行；而從八卦分立的角度看，巳申、寅亥數(shù)理相合而圖像產(chǎn)生了歧變。所以，真正的刑合應當包括“巳申”刑合和“寅亥”刑合。由此我們可以得知，巳申寅為恃勢之刑就不難理解了--恃什么勢？恃的是相合之勢也。
從卦理上分析“巳申寅”為三刑，“寅亥申”也應當為三刑。但三刑是對三合局的反動，是“歧異之象”，每支只取一次，故不可濫推。
八卦相害--
按地支六害的規(guī)律，先天八卦也有相害之象，包括兌離相害、乾震相害、巽坤相害、地艮相害。
[圖，先天八卦與相害]
圖注：在先天八卦里，卦之相合是陰陽兩個陣營之間的關系〔即一、二、三、四與五、六、七、八之間相合〕；而相害則是自家陣營之間〔即一、二、三、四內(nèi)部和五、六、七、八內(nèi)部〕的關系。
八卦相害也有一個共同特征：上兩爻極性相反，而初爻極性相同。相害之卦相互作用，則初爻最先產(chǎn)生變化，初爻一變，相害之卦則變成對沖之卦。以兌離二卦為例：
兌初爻變即成坎，與離對沖；
離初爻變即成艮，與兌對沖。
余可類推。
在此還要討論一個問題：肆互壹局的組合是否具有唯一性？
三合局和六沖具有組合的唯一性自不必說，三刑是由奇性帶來的組合，并不具有唯一性，這是奇點性質(zhì)所給予的，但六合六害是否有唯一性呢？
十二地支的平行組合還有兩組，見圖。
[圖，其他的地支之平行組合]
從洛書之化數(shù)可知，這兩組相互關系有不一致之缺陷：
子乘亥→1×6＝6 →化6
丑乘戌→8×6＝48 →化8 →歧異
寅乘酉→8×7＝56 →化6
卯乘申→3×2＝6 →化6
辰乘未→4×2＝8 →化8 →歧異
巳乘午→4×9＝36 →化6
上述算式中，辰戌丑未之化數(shù)歧異，丑戌未土為三刑即由此而出。
寅乘卯→8×3＝24 →化4
丑乘辰→8×4＝32 →化2 →歧異
子乘巳→1×4＝4 →化4
亥乘午→6×9＝54 →化4
戌乘未→6×2＝12 →化2 →歧異
酉乘申→7×2＝14 →化4
此組乘式中，也是辰戌丑未為歧異之數(shù)。辰戌丑未本為中土，地支中分列於木火土金之四季，故多有歧異之性。
從上面的分析我們可以看出，肆互壹局的組合是嚴密的邏輯的產(chǎn)物。
[三]
肆互壹局各自的等價是建筑在象的平行對稱等價和數(shù)的同余等價之上的。這一計算方法并不偶然，因為“同余”本是易學最根本、也是最常用的計算方法。
同余式屬于數(shù)論中的不定分析，據(jù)劉鈍氏的研究：它的起源就是《周易》和古代的制歷。現(xiàn)將劉鈍氏的論述引用于下：
同余概念的一個來源是《周易》中的占筮方法。關于這一方法的細節(jié)，歷代學者解說不一，但本質(zhì)上都是反復將一定數(shù)目的蓍草或筮策均分后剔除所余，以期求得事先約定好的與爻符對應的數(shù)字?，F(xiàn)在我們采用多數(shù)易學著作對《系辭傳上》“大衍之數(shù)”一節(jié)的解釋，具體說明這一過程：
“大衍之數(shù)五十，其用四十有九。分而為二以象兩，掛一以象三，揲之以四以象四時，歸奇于仂以象閏，五歲再閏，故再仂而后掛→是故四營而成易，十有八變而成卦?！?br />
蓍策總數(shù)為50根，去其一以象征太極，實際用于占筮的是49根，故稱“大衍之數(shù)五十，其用四十有九?！彪S意將49根蓍策分成兩堆分置案面左右，象征太極生兩儀，故稱“分而為二以象兩”；然后從左邊一堆蓍策中取出一根仂在左手四、五指間，稱為“掛一以象三”，象征造分天地后又生出人，合為三才；繼而將左、右兩堆蓍策每4個為一組地數(shù)出，這叫做“揲之以四以象四時”，象征一年中四季的運行；左、右兩堆所剩蓍策之數(shù)稱為“奇數(shù)”，“奇數(shù)”必為1、2、3、4四個數(shù)字之一，將它們仂在左手三、四指間，稱為“歸奇于仂以象閏”，象征閏日；左、右兩“奇”各“ 仂 “一次，則附會古歷五年置二閏月的制度，故稱”五歲再閏，故再仂而后掛“。以上過程稱為一變，包括”分二“、”掛一“、”揲四“、”歸奇“四個步驟，故曰”四營而成易“，”易“就是變化的意思。經(jīng)此一變，左手上所仂策數(shù)非5即9，案面則還剩44或40根蓍策參與二變。
何以一變后左手所仂數(shù)目非5即9呢？這里暗用了同余式的一個重要性質(zhì)：
若a≡r1〔mod m〕，b≡r2〔mod m〕，
則a+b≡r1+r2〔mod m〕
在以上一變過程中，a、b分別代表”掛一“后左、右兩堆的策數(shù)，a+b≡48，r1、r2分別代表兩次”歸奇“的策數(shù)，m=4，因此有
r1+r2≡48〔mod 4〕≡0〔mod 4〕
這表明r1+r2是4的倍數(shù)，又因為每一”奇數(shù)“必為1、2、3、4四個數(shù)字之一，所以兩次”歸奇“的總數(shù)等于4或8；再加上先前的”掛一“，一變后左手所仂策數(shù)必為5或9，而所乘策數(shù)為44或40。
從第二變起不再”掛一“，經(jīng)過”分二“、”揲四“、”歸奇“三個步驟，可得
r1+r2≡44〔mod 4〕≡40〔mod 4〕≡0〔mod 4〕
同理可知二變”歸奇“的總數(shù)等于4或8，將它們仂 于左手二、三指間，則案面所乘參與三變的策數(shù)必為以下三者之一：44－4＝40，44－8＝40－4＝36，40－8＝32。
仿此，在三變中”歸奇“之數(shù)有
r1+r2≡40≡36≡32≡0〔mod 4〕
總數(shù)也應等于4或8，仂于左手一、二指間。此時左手所仂策數(shù)最多為25，案面所剩策數(shù)則為以下四者之一：40－4＝36，40－8＝36－4＝32，36－8＝32－4＝28，32－8＝24。
以上四數(shù)俱為4的倍數(shù)，以4來除商數(shù)分別是9、8、7、6。三變的目的就在于獲得這四個數(shù)字之一；其中9、7對應于陽，8、6對應于陰，三變占得一爻。同樣的程序重復六次即得一卦，故曰”十有八變而成卦“。這就是《周易》筮法的成卦過程。十分顯然，這一方法的創(chuàng)造者是具有原始形態(tài)的同余概念并通曉其某些性質(zhì)的。
由于《周易》在中國古代文化中的特殊地位，其筮法受到力圖借數(shù)學”通神明、順性命“的數(shù)學家的重視就不足為奇了。高度機械化的成卦過程是否對中國古算產(chǎn)生影響姑且不論，僅就同余概念的發(fā)展布而言，《周易》確實是一個重要的來源。秦九韶不但將自己最得意的成果命名為”大衍求一術“，而且借著卦發(fā)微題引進一個不同于《周易》筮法的占筮程序就是一個明證?！矂⒓儭洞笤昭詳?shù)》遼寧教育出版社〕
……
同余概念的另一個來源是古代制定歷法的需要。古代歷家根據(jù)長期的觀測記錄，已能推算日、月、五星的運動周期并由此規(guī)定各自的起點，例如回歸年即以冬至時刻為起點，朔望月即以平均合朔時刻為起點，而干支記日則以甲子日夜半零時為起點，它們一般并不同時。為了推算上的方便，古代歷家引進了一個叫做上元的概念，即假定遠古某一時刻各種天文周期恰好處于同一個起點上，這一起點就是上元。自上元到本年經(jīng)過的年數(shù)叫做上元積年，在測得本年相關周期的起點后求上元積年的問題，就是一個解同余式組的問題。例如已知a為回歸年日數(shù)、r1為本年冬至距其前一個甲子日零時的時間、b為朔望月日數(shù)、r2為冬至距前一個平朔的時間，那么上元積年x滿足下面的一次同余式組
ax≡r1〔mod 60〕≡r2〔mod b〕
實際計算中要對上式中的a、b、r1、r2進行通分以使所有數(shù)字化為整數(shù)。如果再假定月球的近地點和升交點以及五星運動周期的起點均在上元，那么上元積年的計算就要考慮更多的同余式。
這一結論得到了歷代史志和天文學史研究的支持。新近的研究表明，早在西漢末年劉歆編制《三統(tǒng)歷》的時候就已引入了上元的概念，并實際計算了《三統(tǒng)歷》和古四分歷的上元積年數(shù)據(jù)，其計算過程有賴于一類特定的一次不定方程或同余式組的求解。東漢劉洪的《乾象歷》首先將上元積年數(shù)據(jù)列為歷法第一條：“上元乙巳以來至建安十一年〔206〕丙戌歲，積七千三百七十八年?！币约鬃訛樯显獎t始于西晉劉智的《正歷》：“推甲子為上元，至泰始十年〔274〕，歲在甲午，九萬七千四百一十一歲，上元天正甲子朔夜半冬至，日月五星始于星紀，得元首之端?！逼浜笸跛分锻v》、后秦姜岌之《三紀甲子元歷》都有關于甲子上元的記載，而祖沖之的《大明歷》更是在考慮了9個同余關系的基礎上計算出上元積年來的。因此成書于南北朝時代的《孫子算經(jīng)》中的物不知數(shù)問題，絕不會是作者向壁虛構的智力游戲，而很有可能是對當時歷家推算上元積年問題的數(shù)字概括。
從劉歆直到元代郭守敬以前，中國的歷家往往把畢生心血傾注在上元積年的推算上，埋頭于各種天文周期的測驗；因而從某種程度上來講，一部中國古代的歷法史，幾乎就是上元積年的演算史。與此密切相關的一次同余式組的理論和算法，就是在這種背景下發(fā)展起來的。
其實，同余計算在易學中很常見，因為只要是周期性循環(huán)的運算，大都要應用到同余，而易學特別是術數(shù)部類中的周期性循環(huán)計算和操作特別多，幾乎每一術數(shù)分支都是以同余運算為基本運算方法，甚至可以說離開了同余運算，此分支就不復存在。諸如六十甲子、六十納音、四柱中的起大小運和星神取用、奇門遁甲的飛宮、三元地理的飛星、六爻的配六獸，大六壬的起課，紫微斗數(shù)的排宮，等等等等，無一不運用同余計算。例如六十甲子就是兩種同余計算的組合，天干是以10為模求余，地支是以12為模求余。此外，梅花易數(shù)的數(shù)字起卦法，也是以8為模求余，而求動爻之法，則是以6為模求余。
第二節(jié) 復數(shù)散陣
[一]
洛書數(shù)不是孤立的三階幻方和數(shù)陣，我們還可以運用一種“相反極性”的邏輯來重新理解洛書的“平行對稱性”和“平行等價性”。
若要利用“相反極性”的數(shù)理模型給洛書建立一種新的解釋方法，還必須遵循兩條原則：
1、新的數(shù)理模型必須同洛書是處於同一層次的數(shù)理模型；因為洛書是最簡幻方，故新模型也必須是某種最簡的數(shù)理模型。
2、由于“相反極性”的邏輯有相反的手征性，故新數(shù)理模型必須進行手征性反相。
在此，我們建立的最簡“復數(shù)散陣”則是滿足上述條件的“新洛書方陣”。
我們已經(jīng)知道：八卦本是圓上的八個矢量，故八卦圖實際上是一種平面復數(shù)的坐標圖，其坐標原點是圓心〔即中宮〕，洛書則是用正整數(shù)模擬圓的一個坐標方陣。但是，現(xiàn)在我們可以更直接地用復數(shù)平面坐標圖來標示此圖：
[圖，復數(shù)平面坐標圖]
圖注：此圖左東右西、下北上南。我們之所以用橫軸表虛數(shù)而縱軸表實數(shù)，下、左為正而上、右為負，是根據(jù)上述原則來予以手征性反相的。此外，復數(shù)的排列也嚴格按照坐標圖實部和虛部的實際順序排列，也沒有按照西方數(shù)學中強行規(guī)定的左實右虛的排列方式。這一手征性的反相，是東西方文化比較學中被人忽視但至關重要的一環(huán)，結論之正誤往往因此而導出。
上圖排入九宮格，即成“復數(shù)散陣”：
[圖，復數(shù)散陣]
此圖亦有若干與洛書相同的性質(zhì)：
1、過中宮之連線上的三數(shù)之和相等，具有圓之象；
2、沖、合、害和其他類似的運算之得數(shù)與洛書相同，而且更直截了當。
我們按這兩條性質(zhì)一一分析。
相沖--
[圖]
相沖之化數(shù)直接等於中宮之數(shù)。它意味著中宮之數(shù)“五”與“零”等價。
相合--
[圖]
相合也直接計算出了八宮之數(shù)。
相害--
相害俱直接得“2”宮之數(shù)。
子卯相刑--
[圖]
子卯刑得傷門之數(shù)。
其他化數(shù)--
[圖]
上述運算不僅可以直接求出所化之宮數(shù)，而且在多項式的計算過程，連交換律都無須使用，可以直接計算出各宮數(shù)的原貌。洛書三合局和三會局之計算，還要通過太乙宮位的轉換，而復數(shù)散陣卻可以直接計算出所對應之宮。
三合局--
申子辰合水局：
[圖]
震兌二宮反相，則各局化數(shù)與宮位吻合。
三會局--
亥子丑會水局：
[圖]
奇點之震兌二宮互換，則其化數(shù)與會局五行吻合。
上面是按八個矢量〔即八卦〕計算的，下面我們還要進一步從十二地支的角度予以考察。我們認為，從數(shù)理的角度考察，十二地支是對於復數(shù)散陣的一種模擬。我們的理由是：
一、十二地支是一群模棱兩可的單元；它們似乎是十二個矢量，可以指代十二月、十二時辰、十二經(jīng)脈等，但它們又似乎是八個矢量，其中四隅各自以兩支合成一個矢量〔卦〕而指代西南方、東南方，西北方、東北方，十二支一共只指代八方。這一點與復數(shù)之性質(zhì)相同，因為四隅之 、 、 ， 既是一個數(shù)，又像是兩個數(shù)。
二、如果把復數(shù)散陣里的八個數(shù)看成是十二個數(shù)，配上十二地支可得下圖：
[圖，復數(shù)散陣與十二地支]
肆互壹局中若干計算和歧異現(xiàn)象都可從此得到直接顯現(xiàn)：
六沖--
[圖]
諸對沖之支所配之數(shù)相加全部等於零，為中宮之數(shù)。讀者可自行計算。
六合--
[圖]
子丑合
寅亥合 →歧異
卯戌合
辰酉合
巳申合 →歧異
午未合
上述乘積俱得 ，可以認為是丑支或艮宮之數(shù)〔丑艮俱為土〕，其中唯有巳申合、寅亥合歧異，其積是復數(shù)散陣中沒有的數(shù)，故為“刑合”。這里之所以認為是丑支之數(shù)，當然還要與前面的計算合參，這也是易學整體性理論的特點，不能孤立地看問題。
六害--
[圖]
酉戌害
申亥害 →歧異
子未害
丑午害
寅巳害 →歧異
卯辰害
六害之化數(shù)為 ，可以認為是未支或坤宮之數(shù)〔坤宮與未支俱屬土〕，唯寅亥、巳申之化數(shù)歧異。巳申、寅亥之刑合以及巳申寅三刑之特異之象由此可以得到直接的證明。
子卯相刑--
[圖]
三合局與三會局--
[圖]
申子辰合水→一宮數(shù)之一半
寅午戌合火→九宮數(shù)之一半
亥卯未合木→七宮數(shù)之一半
巳酉丑合金→三宮數(shù)之一半
我們在地支式的運算中，四隅之數(shù)都只取了一半，故化數(shù)也為各宮數(shù)的一半。
再看三會局：
[圖]
亥子丑合水→一宮數(shù)之一半
寅亥戌合火→九宮數(shù)之一半
亥卯未合木→七宮數(shù)之一半
巳酉丑合金→三宮數(shù)之一半
上述各種運算，無一不與肆互壹局的相互作用之化宮數(shù)相吻合。
其他平行對稱圖中的化合關系--
1、一六宮連線之平行圖：
[圖]
子亥乘
丑戌乘 →歧異
寅酉乘
卯申乘
辰未乘 →歧異
巳午乘
此平行圖中，唯丑戌乘和辰未乘之積歧異，正與洛書計算及完整的復數(shù)相乘之結果相同。此外，其共同之乘積可視為亥支之數(shù)，為乾宮屬金，但此宮無屬金的地支，這也是此組的相互關系不被“肆互壹局”選用的原因之一。
2、三八宮連線之平行圖：
[圖]
寅卯乘
丑辰乘 →歧異之數(shù)
子巳乘
亥午乘
戌未乘 →歧異之數(shù)
酉申乘
此組乘積中，也是丑辰、戌未之積化歧異之數(shù)。這兩組乘積也證明了丑戌未三刑的歧異的數(shù)理性質(zhì)。此外，此化數(shù)也可以認為是巳支之數(shù)，巳為火而巽宮為木，五行不同，這也是此組相互作用不入肆互壹局的原因之一。
結論，從上面七種分析比較，可看出十二地支之特性與復數(shù)散陣中的十二個“數(shù)碼”的特性如此吻合，不可能用偶合來解釋。我們認為，十二地支數(shù)目的安排規(guī)定，不僅是對物理世界中自然現(xiàn)象〔如一年有十二個月、人體的十二經(jīng)脈等等〕的簡單模擬，而且是有更深刻的數(shù)理本原。
[五]
我們還要進一步探討：為什么洛書被稱之為乘除之原？為什么六合、六害的相互作用能夠用乘法求余表達？為什么六沖的相互作用卻要用加法？這幾種計算方法有何深刻的內(nèi)涵？這些“原問題”若不徹底解決，是不能證明“化數(shù)原則”〔同余計算〕的正確性的，充其量只是證明了古人是這么計算的，而沒有說明為什么要這么計算，仍然是知其然而不知其所以然！。
這些問題，我們可以從兩種洛書的等價模式中得到啟發(fā)和解釋。
一、洛書的平面坐標作用。
洛書是一種特定的非線性平面坐標系統(tǒng)。從本質(zhì)上講，八卦是八個最簡單的離散系，是八個矢變量，因此任何事物的任何變化只能固定在坐標圖的八個矢量加上坐標原點的九個點〔即九宮〕上，換言之，這九個點是萬事萬物的運動軌跡--即，地支與地支、天干與天干、天干與地支、八卦與八卦相互作用產(chǎn)生的新矢量，也只能在此八個矢量位置加上原點九個位置上躍躚，而不能逃逸到九個點之外去。
或問：為什么八卦可以相互轉化？
因為八個矢量的絕對值〔在復數(shù)中稱為“?！薄呈堑葍r的，它們都等價於圓半徑r，也可以說是等價於單位“1”，僅僅是各自的極性不同或曰在復數(shù)平面上的幅角 〔指矢量與正實軸的夾角〕不同。這正是離散系的基本特征。這八個矢量雖然極性不同，但又是旋轉對稱性的。我們知道：在物理學上的對稱不僅僅指幾何圖形上的對稱，而且指各對稱單元可以協(xié)變出某種等價的值。由於八卦是一種高度抽象的數(shù)理模式，故同時有形和數(shù)的兩種對稱性顯示。前文中肆互壹局的分析中，僅有平行圖象而無等價的協(xié)變量，或僅是有等價的協(xié)變量而無平行圖象都夠不上對稱的標準。
又問：為什么洛書被稱為乘除之原？
因為洛書八宮表示的是八個絕對值都等於圓半徑或的值，“1”和“1”相乘或相除仍然是“1”，其絕對值不變，唯幅角發(fā)生改變，所以在洛書運算中必須用是乘法；為什么洛書乘法所得之積只留下尾數(shù)〔即西方數(shù)學中的以“10”為模的“同余數(shù)”〕？因為洛書九個數(shù)并不代表矢量的絕對值，只表示矢量的方向、極性和宮位，所以只留尾數(shù)就夠了；其同余尾數(shù)能否正確反映矢量的實際方向呢？前文我們已有初步證明，下文中將進一步徹底證明。
為什么某些特殊情況下要改用加法呢？因為乘法永遠得不出“5”或“零”，即反映不出八卦躍躚進入中宮，所以要改用加法。這種加法是否能夠正確反映八卦的真實運動狀態(tài)，也是我們所要證明的。
二、八卦的相互作用的洛書運算。
八卦系統(tǒng)各矢量的相互作用只有兩種情況，第一種，相互作用之矢量處於同一直徑上，即兩矢量的連線過中宮，第二種，不過中宮即兩矢量不在同一直線上。
試分別討論。
對待之宮的相互作用--
當兩卦或兩地支處於過原點的同一直徑上時，兩矢量之模相等而極性截然相反，此二矢量若相互作用，則陰陽極性抵消泯滅，處於中性狀態(tài)，用力學的觀點是其合力為零。在力學中是用求代數(shù)和的方法計算合力的，以乾卦與坤卦相互作用為例，在復數(shù)散陣中是〔+1〕+〔-1〕＝0，在洛書中為1+9＝10，此兩種計算方法等價。
由此我們也可悟出，所謂八卦入中宮，實際上并沒有入中宮，只是其合力等於零，其作用點在中宮上，見圖。
[圖]
為了簡化運算規(guī)則，洛書計算可全部換成乘法，只要補充一條：凡連線過中宮者必須乘上中宮之數(shù)；因為任何正整數(shù)乘以5，其積不為10 即為5，仍然是中宮之數(shù)而等價於零。我們在以后的計算中即采用此法。
非對待之宮相互作用--
[圖]
兩矢量不處於同一直徑上而相互作用時，它們的模數(shù)相等，唯方向不同，但又不是截然相反，僅有偏角的差別。我們不能用加法，因為按照復數(shù)的加法法則，其和用幾何表示法時表現(xiàn)為此二矢量所構成的平行四邊形之對角線。以一八宮相加為例，見圖。
[圖]
oa為一宮之矢量，ob為八宮之矢量，其和為：
oa+ob=oc
矢量■已不在八宮之上，亦即不在八卦系統(tǒng)之內(nèi)，沒有任何意義。故此種情況下加法運算沒有任何理論和實踐意義。
八卦系統(tǒng)兩個矢量的相互作用就好比同一羅盤上兩枚磁針相互作用，只會造成磁針的旋轉而不會逃逸到羅盤之外或縮到羅盤之內(nèi)去。
而乘法則不然，我們說過，洛書或復數(shù)散陣內(nèi)兩矢量相乘，且絕對值永遠等於“1”，僅方向發(fā)生改變，就像上面說的磁針。復數(shù)的乘法還有一種幾何表示法，兩復數(shù)的乘積之模數(shù)〔即絕對值〕等於它們的模數(shù)之乘積，且幅角〔指Ｘ軸的正方向與此矢量之間的夾角〕相加。見圖表118。
[圖]
復數(shù)相乘本來就有旋轉之義，由於此八個矢量之模均等於“ 1 “，故其乘積就只可能在太極圖的圓周上旋轉；又由於相鄰兩矢量之間的夾角均為 45°〔記為 〕，故兩矢量相乘之積必定準確地落在八卦原有的八個固定位置之上。換言之，兩矢變量相乘，其?！步^對值〕不變，僅產(chǎn)生移宮現(xiàn)象。例如： 乘以 〔即六三宮相乘〕時，積之模數(shù)〔1×1＝1〕不變，而幅角 則有：
換成洛書相乘法就是：
6×3＝18→化8
換成復數(shù)散陣相乘法就是：
[圖]
由此可證，通過洛書數(shù)的乘法運算，可以正確而簡捷地反映八卦系統(tǒng)內(nèi)部的相互作用關系。雖然洛書的計算有不直觀之處，我們?nèi)钥梢酝ㄟ^復數(shù)散陣相互發(fā)明、相互彌補。
[六]
洛書方陣的三維空間坐標作用。
洛書方陣不僅可以反映兩維平面中最簡離散對稱系之相互關系和相互作用，還可反映三維空間任何最簡離散對稱系之間的關系和相互作用。
[圖，三維空間與八卦]
八卦在三維空間中的矢量關系就是正八面體八個角上的矢量，其坐標原點即中宮就是各對角線之交點，也就是此正八面體外接球體的球心。至此，洛書所表現(xiàn)的”圓象“就變換成”圓球“之象了。洛書亦能反映此球體模式中八個對稱之矢量的相互關系和相互作用。
1、1+5+9＝2+5+8
?。?+5+7
?。?+5+6
?。?ｒ 〔ｒ為球體半徑〕
1+8+6＝8+3+4
＝4+9+2
?。?+7+6
?。絻衫庵汀不蛞焕饧右槐砻嬷畬蔷€〕
2、對待之宮兩矢量相互作用，亦有極性消失之象，可用乘法加乘中宮之數(shù)計算；由於正八面體的八角頂點俱在外接球體之上，非對待之宮之矢量相互作用時，也會產(chǎn)生類似於復數(shù)平面上的相變〔即移宮〕現(xiàn)象，我們也同樣可以用洛書的乘法進行計算移宮之走向。二八易位后，亦會形成男女卦族之對待之象，此圖中同樣有對稱性自發(fā)破缺現(xiàn)象。見圖。
[圖]
由此圖可以看出，二八易位的前后，”陰部洛書數(shù)“與”陽部洛書數(shù)“形成整體的非局域性對稱。
[七]
洛書方陣與復數(shù)散陣，對八卦系統(tǒng)數(shù)理的詮釋與發(fā)揮，各有其不足，也各有彼此不可替代的優(yōu)勢。
洛書的主要缺點為：
1、各矢量數(shù)本身不能直接體現(xiàn)該矢量的極性、方向、幅角；
2、各矢量數(shù)不能直接準確地表達該矢量真實的絕對值〔模〕；
3、作為坐標原點的中宮數(shù)不是”0“，而是”5“或”10“，很容易使人產(chǎn)錯誤的理解。
洛書雖然有缺點，但由於有太極圖、八卦、天干、地支與洛書互為表里，其不足已在實際運用中被不自覺地得到了彌補。例如，我們提到”9“宮之數(shù)時，自然明白此數(shù)是指南方、且與”1“宮數(shù)的極性相反，而且知道這里配有先天的乾卦、后天的離卦、八門中的景門、時間是午月，等等，并不把它當成是自然數(shù)”9“；又如中宮之數(shù)”5“，我們也知道它在圓中心；再次，八個卦與圓心的距離為圓半徑也有直觀的顯現(xiàn)，等等。
復數(shù)散陣的最大優(yōu)勢是精確地表達了兩維平面中各矢量的極性和模，而且清晰地解釋了八卦以及十二地支間的相互關系和運算方法，并直接解釋了為什么平行對稱性〔即洛書中的同余運算〕會等價，加深了我們對洛書方陣的理解。
[一]
在易學中，我們討論八卦的排列規(guī)律，首先想到的往往就是先天八卦的爻象對稱排列，有了這種先入之見，我們自然會用先天八卦的規(guī)律來判斷后天八卦的規(guī)律。
欲擺脫成見，我們必須引入新的思想來平等的定義先后天八卦的共同規(guī)律--眾所周知，“圓”是一個形式與內(nèi)容的完美的象征，它的構成只要滿足下面兩個條件中的任何一種就可以了。它們是：
條件一：在某個“環(huán)形物”中，而此“環(huán)形物”的邊界上的任何一點距中心點的距離如果完全相等，那么，此物即為“圓”--具體地說：“圓”的直徑處處相等。
我們?nèi)缬媚撤N分立的、離散的結構來模似一個“圓”，那么，只要滿足此條件即可稱之為“圓”--很顯然，先天八卦和洛書是可以滿足上述條件的。
在洛書的數(shù)陣中，無論是用哪一條直線〔即直徑〕把三組離散的洛書數(shù)連起來，其直線上的數(shù)字和皆為“15”。故洛書是“圓”的一種數(shù)值模擬結構。
先天八卦也是一樣，只是操作略有不同。我們知道，同一直徑的兩個半徑，實際上是兩個矢量，其絕對值〔?！畴m然相等〔等於半徑Ｒ〕，但其極性卻截然相反。若此二矢量相互作用，將會泯滅極性。先天八卦即有此特性：把兩對待之卦相互作用，則各爻極性完全泯滅，所以先天八卦也是“圓”的一種符號模擬結構。
條件二：在某個“環(huán)狀物”中，如果此“環(huán)狀物”的邊界是一種連續(xù)的光滑的過渡狀態(tài)，即此物體的邊界沒有非連續(xù)性的凹凸出現(xiàn)，那么該物體就一定是“圓”，因“圓”邊界處處光滑，比如，我們常見的“平面幾何圓”的邊界就是光滑無凹凸的。
后天八卦是用五行的連續(xù)相生來體現(xiàn)“條件二”的，故后天八卦也是一種“圓”的模擬結構，并且二八易位后的洛書也是一種滿足條件二“模擬圓”。
[二]
大家可能會警惕地說，后天八卦的五行連續(xù)相生在八宮是非連續(xù)的過渡態(tài)，也就是說它是有破缺的；在形態(tài)上此處非凹即凸，它絕不是完美的模擬“圓”，因為它沒有最徹底的對稱性存在。
可問題是：雖然先天八卦以一種局域對稱的形式來模擬了“圓”，但是，如果反過來用“條件二”中的規(guī)則來要求先天八卦，先天八卦也會明顯地出現(xiàn)破缺--即先天八卦的男女長幼秩序是不光滑的、非連續(xù)性的，它在“震、巽”二卦上有了破缺，正如我們在《理部·第一章》所見到的那樣。
如果我們在實踐運用中只采用后天八卦〔或先天八卦〕這一種機制來操作的話，是肯定不行的。比如，在卜筮中對某種事物作出吉兇判斷，一般都是用后天的五行生克的“旺、相、休、囚”來決定的，但純粹的五行生克能否完全描述事物吉兇是肯定不完全的，故后天邏輯在分析事物吉兇中的不完全是可用先天數(shù)理邏輯來補救的--這就是我們需要引入“刑、沖、合、害”的由來。
學易的人都知道，“刑、沖、合、害”是一種超越五行生克的運算規(guī)則；也就是說“刑、沖、合、害”規(guī)則同五行生克規(guī)則沒有聯(lián)系，它是對五行生克規(guī)則的補充，其原理來自於先天八卦的數(shù)理思維。
現(xiàn)在，我們想問的是：作為與五行生克對待的補充性的運算規(guī)則應有多少種才合理呢？根據(jù)在前文中提到的公理極限原理，作者認為一共得有五種，即：刑、沖、合、害、比。此五種地支中的相互作用的運算規(guī)則，我們稱之為“肆互壹局”，即“肆互”--互刑、互沖、互合、互害；“壹局”--比和之局。
我們說肆互壹局是一種先天數(shù)理化邏輯運算規(guī)則，這一結論是完全可以從數(shù)理化的運算規(guī)則中得到證明的。
沖--
在《六壬大全》有云：“沖者動也，格也。其法以十二支環(huán)列，陰陽各相為沖。凡沖主動移，反復不寧。”六沖配洛書圖如下：
[圖，地支六沖與洛書]
地支六沖用加法運算可得：
子午相沖→1+9＝10
丑未相沖→8+2＝10
寅申相沖→8+2＝10
卯酉相沖→3+7＝10
辰戍相沖→4+6＝10
巳亥相沖→4+6＝10
六沖相加俱化“10”，相當于化“零”〔即以10為模同余0〕。“10”為中宮之數(shù)。也就是說，兩支互沖之后，兩支都進入了中宮而“消失”“空亡”，也即兩支相互格斗而“散”。作為八卦的整數(shù)化二維坐標圖洛書來說，中宮之數(shù)“5”、“10”和“零”是等價的，它們都代表坐標的中心原點。六沖所化之數(shù)同余“零”，“零者”氣散之象，泯滅之象。此外，六沖在此幾何圖中是旋轉對稱之象；象數(shù)俱對稱，故具有共同的“格斗”、“中和”的性質(zhì)。
合--
六合指兩種陰陽和五行所屬都不相同的地支相互合二為一，此地支六合關系可以用圖5.2示之。
[圖，地支六合與洛書]
地支六合有很多平行線，是“平行對稱性”的體現(xiàn)，而能夠滿足“平行對稱性”的各種組合之間是平行等價關系。其等價的作用量，須先將二數(shù)相乘，然后求同余：
子丑合→1×8＝8 →化8
寅亥合→8×6＝48 →化8
卯戌合→3×6＝18 →化8
辰酉合→4×7＝28 →化8
巳申合→4×2＝8 →化8
午未合→9×2＝18 →化8
六合用洛書數(shù)相乘化“8”〔即以“10”為模同余“8”〕，“8”為艮八宮生門之數(shù)，而艮八宮是后天八卦的奇點，奇點有“自我相關、自我纏繞、合二為一”之義，故稱相合。又生門為創(chuàng)生之門，吉由此生，兇亦由此生，故卜筮中喜事宜合，越合越好；兇事忌合，合則經(jīng)久難散。
天干也有相合現(xiàn)象。由於天干與地支是對立的邏輯系統(tǒng)，故其化合的幾何形式與地支的化合形式相對立，即天干以“對沖為合”。見圖。
[圖，天干之六合與六沖]
圖注：①甲己相合、乙庚相合、丙辛相合、丁壬相合、戊癸相合；②在圖表，甲戊同體為自我相關、合二為一，而甲庚、乙辛、丙辰、丁癸之相互作用與此相同，照理也應當是相合，但恰恰相反，而為相沖；反之亦然。③圖中天干連線上俱有一組相沖，唯“戊、己”兩干沒有對沖--左圖“甲戊”同體，右圖“己、辛”同宮，這是由“戊、己”在“二、八”宮之奇性所造成的。
對於天干系統(tǒng)與地支系統(tǒng)的對立性，看來古人是有深刻理解的。如在六爻納甲中的地支運算，四季與爻的旺衰關系是：同我者旺，我生為相，我克者為死，克我者休，生我者囚。如春季為木，逢木支為旺，逢火支為相，逢土支為死，逢金支為休，逢水支為囚。見圖。
[圖，五行旺衰表]
而奇門遁甲“九星”的旺衰正如與上述規(guī)定相反，卻是：我生者旺，同我者相，生我者死，我克者囚，克者我囚。
[圖，九星之旺衰]
這種不同的規(guī)定就是對立邏輯所造成的。
害--
害者，阻害、妨害之義。它與合不同，合是指兩物體相互合在一起，而害則是指兩量相互妨害。其義與合相反，其數(shù)理表現(xiàn)也不同，它與相合是相互垂直的。見圖。
[圖，六害與洛書]
圖注：如果我們從更深的層去理解，相害也是一種“相合”。六合化艮八宮生門之數(shù)，六害化坤二宮死門之數(shù)，“陽之所生，陰之所死；陰之所生，陰之所死”。所謂生和死并不是極性的泯滅，而是純陽和純陰兩種極性的轉換。真正的極性泯滅是沖，故古以合與沖互相對立，而不是合與害對立。易學邏輯為扶陽抑陰的陽手征，故取化生門之數(shù)的組合關系為相合，而化死門之數(shù)的相互關系為相害。嚴格地講六合是合在一起滋生陽氣而疏泄陰氣，六害是合在一起疏泄陽氣而滋生陰氣。故害也可稱之為“畸合”。
相害也是一組平行對稱圖。依數(shù)理析之：
[圖]
子未相害→1×2＝ 2 →化2
丑午相害→8×9＝72 →化2
寅己相害→8×4＝32 →化2
卯辰相害→3×4＝12 →化2
申亥相害→2×6＝12 →化2
酉戌相害→7×6＝42 →化2
相害同化坤二宮死門之數(shù)，故為“妨害”。
從人類的功利觀點出發(fā)，吉爻宜合不宜害，兇爻宜害而不宜合。六合和六害若逢沖，其生死之合俱散。
刑--
刑者傷也，殘也。地支中的兩刑只有子卯無禮之刑，三刑有巳申寅恃勢之刑，丑戊未無恩之刑。此外還有辰午酉亥自相刑。
根據(jù)對稱性原理，兩刑除了子卯相刑之外，還應當有五對相刑，共湊成六刑，如圖所示。
[圖，地支之“六刑”]
為什么只取“子卯相刑”而不取“丑寅相刑、亥辰相刑、戌巳相刑、酉午相刑”及“申未相刑”呢？這得從自洽條件定則說起。
我們把肆互壹局看成是一種完備的運算體系，也就是說，肆互壹局可以把地支中所有超越五行生克的相互作用關系全部補充完備。
肆互壹局自身實際上也是一種“五行自洽系統(tǒng)”，在本篇第一章里我們已經(jīng)指出了這個道理。既然肆互壹局被看成是自洽的，那么此系統(tǒng)內(nèi)部一定會有“遁甲現(xiàn)象”，即系統(tǒng)中的某種運算規(guī)則的數(shù)理來由很難用一種特定的邏輯解釋徹底--在五行生克中是木和土，而在肆互壹局里則是刑和比，其中刑的奇性是由比帶來的。
所謂比，即指比肩、比和。如寅與寅，申與申、巳與巳等都稱比。因此我們可以把“相比”看成是一種“得中”的五行關系。
從某種意義上來講，“相比”不是五行運算--它既不能用五行的相生、相克來解釋，又不能通過洛書數(shù)理運算來解釋。很顯然，元素之間的運算出現(xiàn)了的“相比”，就等于是出現(xiàn)了某種“自我相關”關系。
“相比”欲成為一種真正的五行運算，必須通過中道極化原理分化成兩種對立的地支運算規(guī)則--三刑和三合局，肆互壹局的奇性就是由此引出的。
我們已得知，四種相互作用關系是不可能形成一個自洽系統(tǒng)的，換言之，四種相互作用關系不夠，但如果引進第五種相互作用又會顯得過多，且奇性因此而出現(xiàn)。
我們可以用前文中的根號矩形來作比方。假定我們手中基本的“ 、 、 、 、 矩形”，我們欲用此四種矩形來構成無限多種連續(xù)變化的任一矩形，但肯定不夠。我們可以增添第五個根號矩形〔 〕來補充，但這樣一來，根號矩形就會顯得多了，并且最奇怪的事必定會發(fā)生：由於引進了 矩形，於是在 中有了“五行”中的黃金分割所帶來的奇性，第四種根號矩形〔 〕就得換成黃金矩形才能完備自洽。於是你的完備的自洽的矩形就變成了 矩形、 矩形、 矩形、黃金矩形、 矩形。
故此邏輯理論中的四種就變成了五種。但我們卻說：黃金矩形是 矩形的替身，在模擬無限種矩形時，有時是 、 、 和黃金矩；有時是 矩形、 矩形、 矩形和 矩形，這就是說，你得有五個矩形，而在具體使用中你只用四個就夠了。黃金矩和 矩形的關系就相當於甲戊同體或曰甲遁於戊?？捎孟聢D示意：
[圖，基本矩形與出入互補]
這個比方，我們可以借來理解四五壹局中刑與比之間的關系。
我們知道，在沖、合、害、刑中，互沖、互害、互合各是六組，且數(shù)理上的來由也基本相同，互刑雖也可以組成六組，但數(shù)理規(guī)律不一致，如下：
丑寅刑→8×8＝64 →化4〔杜門數(shù)〕
子卯刑→1×3＝3 →化3〔傷門數(shù)〕
亥辰刑→6×4＝24 →化4〔杜門數(shù)〕
戌巳刑→6×4＝24 →化4〔杜門數(shù)〕
酉午刑→7×9＝63 →化3〔傷門數(shù)〕
申未刑→2×2＝ 4 →化4〔杜門數(shù)〕
而比肩本身無法斷定它是一種什么性質(zhì)的運算，故比肩可由中道極化成兩種運算規(guī)則：一種是三合化局，一種是“三刑”〔包括巳申寅恃勢之刑、丑戌未無恩之刑、辰午酉亥自相刑〕用三刑代替了所謂的“寅丑、亥辰、戌巳、酉午、申未”之類的兩兩相刑。三刑和三合化局似乎不遵守“肆互”的數(shù)理規(guī)則：三刑是數(shù)理的變異之數(shù)，而三合局是幾何三角式作用力關系的取用。且三合局即為“比和”之義，它是指三個地支放在一起相互作用，就可以把三個地支看成是一個地支，或曰“合三為一”。
比局〔即三合化局〕就好比是 矩形，把它引入就導致了兩兩相刑的變化。當然，相刑現(xiàn)在還是兩兩相刑的一種，而比局卻有三合局，因此欲有“得中”之性，必得有一種東西同它相對立，它就是三刑。刑者，道不同必相異、必相殘之意，與三合局之合意正相反。有了三刑組合之后，兩兩相刑的組合就如同 矩形一樣被替代，只是此處是用三刑來替代兩兩相刑組合。這時，兩兩相刑只剩下子卯相刑一組，於是奇性被消除，自洽系統(tǒng)得以建立，肆互壹局的真實面孔即成了這種重組關系。
肆互壹局之間的轉化關系可用圖示意。
[圖，肆互壹局出入互補]
三合局--
三合局也是一組旋轉對稱的正三角形，見圖。
[圖，三合局與洛書]
三合局可以看成三個作用力的合力，而在力學中，正三角形是最穩(wěn)定的合力。而所合成三局的五行屬性之所以相當於四正的屬性是由於四正之支“氣純”，而四隅之支“氣雜”。四正之卦有一支，故氣純，四隅之卦各配兩支故其氣雜。
三合局除了可以用唯象的手法解釋外，還有數(shù)理上的規(guī)律：
申子辰合水→2×4×1＝8 →化8宮
寅午戌合火→8×9×6＝432 →化2宮
亥卯未合木→6×3×2＝36 →化6宮
巳酉丑合金→4×8×7＝224 →化4宮
上面三合局之化數(shù)所在之宮之五行與各局的五行不同，這是有原因的。我們在前面的運算可以看出，能夠形成有對稱規(guī)律的化數(shù)只有四個，即“2、4、6、8”。這是為什么？這是因為數(shù)理運算屬於先天邏輯；先天邏輯中的木火金水居四正，土在中宮，而土干戊己的數(shù)理運算要寄宮之后才得以實現(xiàn)，所以先天之數(shù)理運算只有四種，即金木水火。
六沖、六合、六害里有三種運算結果：六沖進入中宮，六合和六害進入二八宮，中宮為未分化的原始奇點，二八宮為分化之后的奇點，所以六沖、六合、六害里不存在著什么五行化數(shù)的區(qū)別，古人雖有子丑合化土、寅亥合化木、卯戌合化火、辰酉合化金、巳申合化水、午未為太陽太陰之說，但在具體運用中卻形同虛設，從來沒有人去真正理會它。這本來就是一種錯誤的拼湊，換言之六合的地支之間根本不存在著什么五行的區(qū)別。
三合局則不同，四土支已經(jīng)分別寄入了四個合局，四個合局是有五行區(qū)別的，也就是說個四合局是典型的先天數(shù)理關系；而后天八卦的宮位本身體現(xiàn)不出先天數(shù)理關系，它只體現(xiàn)在太乙進位后的太乙八卦的宮位上。太乙宮位為什么有先天數(shù)理關系呢？因為先天奇點為震卦，后天奇點為艮卦，太乙八卦左旋一宮，艮卦進入震宮，艮震之宮位合一，故有了先天之數(shù)理關系。
明白此理之后，三合局之化數(shù)〔即移宮〕就好理解了。
申子辰合局，化“8”宮之數(shù)，太乙宮位八宮為坎，為水局；
寅午戌合局，化“2”宮之數(shù)，太乙式宮位二宮為離，為火局。
亥卯未合局化“6”宮之數(shù)，巳酉丑化“4”宮之數(shù)。太乙宮位里“6”宮為乾為金，“4”宮為震為木，金木之局正好相反，這是為什么呢？
這是因為震木為奇點，必須反相顛倒方能保證其邏輯的一致性，故四六宮之五行互換方可吻合四個合局之五行，這一原則將貫穿在本書整個數(shù)理分析之中。我們在“三會局”和四柱神煞的取用中可看到這一原則的應用。
三會局--
[圖，三會局與洛書]
亥子丑會水局→6×1×8＝48 →化8宮為水行
巳午未會火局→4×9×2＝72 →化2宮為火行
寅卯辰會木局→8×3×4＝96 →化6宮為金行
申酉戌會金局→2×7×6＝84 →化4宮為木行
三會局之化數(shù)與三合局全部相同，也是金木局需反相方可一一對應〔肆互壹局的數(shù)理規(guī)律在下文中的“復數(shù)散陣”有進一步的說明〕。
三刑--
如果把三刑的相互作用全部配到洛書中，可以得到一個詭異的對稱圖象見圖。
[圖，三刑與洛書]
從此圖可以看出，三刑的相互作用是以二八宮為對稱軸形成的對稱圖，每一個三支相刑各支，再加上子卯刑和自刑，則把十二地支全部刑完，故三刑是三合局的反動。
三支相刑的各支主要集中在二八宮，這是有原因的。一則，二八宮是奇點之宮，奇點處被攪動就會引起整個局勢的強烈反響；二則，其化數(shù)也有規(guī)律：
巳申寅三刑→8×4×2＝64 →化4
丑戌未三刑→8×6×2＝96 →化6
太乙宮位中“4”宮為震卦，“6”宮為兌卦，如果震兌歸位，則震為傷門，兌為驚門，故它們俱有刑傷之象。
[二]
八卦對沖--
肆互壹局中的數(shù)理規(guī)律，因其屬先天邏輯，故我們可以再用先天八卦去分析。
我們前面已提到，地支之六沖俱化中宮之數(shù)“10”或是“零”，這在后天八卦中是看不出這種“化中宮”的跡象的。若在先天八卦里則十分明顯了。因為先天八卦對待之卦各爻極性全部相反〔 對 、 對 、 對 、 對 〕，相互作用時陰陽極性全部泯滅變成中和“零態(tài)”。陰陽極性泯滅，意味著沒有信息出入，處於死寂狀態(tài)。也可認為兩卦對沖后離開了八宮而進入中宮，從而消失，滅亡，“沖散”。
八卦之合--
先天八卦相合，我們可以仿六合六害之法作出下圖：
[圖，先天八卦的相合關系]
八卦之合有四組：震坤相合，離艮相合，兌坎相合，乾巽相合。它們的化數(shù)也是“8”；換言之，是奇點震卦，為創(chuàng)生之象。從卦象上看，的確也有合而為一的自我相關之象。
我們知道，兩個卦相互作用就會各自產(chǎn)生變化，而八卦之變是從初爻變起的。相合之卦都有一個共同特點：上兩爻全同，而初爻相異。若各卦初爻陰陽極性發(fā)生變化，便會馬上變?yōu)橄嗪现浴Ｒ岳ふ鹣嗪蠟槔?br />
震卦之初爻由陽變陰即成坤卦；坤卦之初爻由陰變陽即成震卦 。
余可類推。
此外，地支六合中巳申合被稱為“刑合”；為什么它既刑又合？這是有原由的，因為四隅之卦都配上了兩個地支，從地支的角度看，地支似乎是十二個量，而從八卦的角度看，卻只允許有八個量，只不過是四隅各卦分別被配上了兩個地支。如果地支六合按八個量構成對稱圖，則“巳申”相合和“寅亥相合”便會出現(xiàn)不協(xié)調(diào)的雜音，見圖：
[圖，巳申刑合與洛書]
從十二地支各自分立的角度看，巳申、寅亥是標準的相合，即數(shù)理相合圖像也相平行；而從八卦分立的角度看，巳申、寅亥數(shù)理相合而圖像產(chǎn)生了歧變。所以，真正的刑合應當包括“巳申”刑合和“寅亥”刑合。由此我們可以得知，巳申寅為恃勢之刑就不難理解了--恃什么勢？恃的是相合之勢也。
從卦理上分析“巳申寅”為三刑，“寅亥申”也應當為三刑。但三刑是對三合局的反動，是“歧異之象”，每支只取一次，故不可濫推。
八卦相害--
按地支六害的規(guī)律，先天八卦也有相害之象，包括兌離相害、乾震相害、巽坤相害、地艮相害。
[圖，先天八卦與相害]
圖注：在先天八卦里，卦之相合是陰陽兩個陣營之間的關系〔即一、二、三、四與五、六、七、八之間相合〕；而相害則是自家陣營之間〔即一、二、三、四內(nèi)部和五、六、七、八內(nèi)部〕的關系。
八卦相害也有一個共同特征：上兩爻極性相反，而初爻極性相同。相害之卦相互作用，則初爻最先產(chǎn)生變化，初爻一變，相害之卦則變成對沖之卦。以兌離二卦為例：
兌初爻變即成坎，與離對沖；
離初爻變即成艮，與兌對沖。
余可類推。
在此還要討論一個問題：肆互壹局的組合是否具有唯一性？
三合局和六沖具有組合的唯一性自不必說，三刑是由奇性帶來的組合，并不具有唯一性，這是奇點性質(zhì)所給予的，但六合六害是否有唯一性呢？
十二地支的平行組合還有兩組，見圖。
[圖，其他的地支之平行組合]
從洛書之化數(shù)可知，這兩組相互關系有不一致之缺陷：
子乘亥→1×6＝6 →化6
丑乘戌→8×6＝48 →化8 →歧異
寅乘酉→8×7＝56 →化6
卯乘申→3×2＝6 →化6
辰乘未→4×2＝8 →化8 →歧異
巳乘午→4×9＝36 →化6
上述算式中，辰戌丑未之化數(shù)歧異，丑戌未土為三刑即由此而出。
寅乘卯→8×3＝24 →化4
丑乘辰→8×4＝32 →化2 →歧異
子乘巳→1×4＝4 →化4
亥乘午→6×9＝54 →化4
戌乘未→6×2＝12 →化2 →歧異
酉乘申→7×2＝14 →化4
此組乘式中，也是辰戌丑未為歧異之數(shù)。辰戌丑未本為中土，地支中分列於木火土金之四季，故多有歧異之性。
從上面的分析我們可以看出，肆互壹局的組合是嚴密的邏輯的產(chǎn)物。
[三]
肆互壹局各自的等價是建筑在象的平行對稱等價和數(shù)的同余等價之上的。這一計算方法并不偶然，因為“同余”本是易學最根本、也是最常用的計算方法。
同余式屬于數(shù)論中的不定分析，據(jù)劉鈍氏的研究：它的起源就是《周易》和古代的制歷。現(xiàn)將劉鈍氏的論述引用于下：
同余概念的一個來源是《周易》中的占筮方法。關于這一方法的細節(jié)，歷代學者解說不一，但本質(zhì)上都是反復將一定數(shù)目的蓍草或筮策均分后剔除所余，以期求得事先約定好的與爻符對應的數(shù)字?，F(xiàn)在我們采用多數(shù)易學著作對《系辭傳上》“大衍之數(shù)”一節(jié)的解釋，具體說明這一過程：
“大衍之數(shù)五十，其用四十有九。分而為二以象兩，掛一以象三，揲之以四以象四時，歸奇于仂以象閏，五歲再閏，故再仂而后掛→是故四營而成易，十有八變而成卦?！?br />
蓍策總數(shù)為50根，去其一以象征太極，實際用于占筮的是49根，故稱“大衍之數(shù)五十，其用四十有九?！彪S意將49根蓍策分成兩堆分置案面左右，象征太極生兩儀，故稱“分而為二以象兩”；然后從左邊一堆蓍策中取出一根仂在左手四、五指間，稱為“掛一以象三”，象征造分天地后又生出人，合為三才；繼而將左、右兩堆蓍策每4個為一組地數(shù)出，這叫做“揲之以四以象四時”，象征一年中四季的運行；左、右兩堆所剩蓍策之數(shù)稱為“奇數(shù)”，“奇數(shù)”必為1、2、3、4四個數(shù)字之一，將它們仂在左手三、四指間，稱為“歸奇于仂以象閏”，象征閏日；左、右兩“奇”各“ 仂 “一次，則附會古歷五年置二閏月的制度，故稱”五歲再閏，故再仂而后掛“。以上過程稱為一變，包括”分二“、”掛一“、”揲四“、”歸奇“四個步驟，故曰”四營而成易“，”易“就是變化的意思。經(jīng)此一變，左手上所仂策數(shù)非5即9，案面則還剩44或40根蓍策參與二變。
何以一變后左手所仂數(shù)目非5即9呢？這里暗用了同余式的一個重要性質(zhì)：
若a≡r1〔mod m〕，b≡r2〔mod m〕，
則a+b≡r1+r2〔mod m〕
在以上一變過程中，a、b分別代表”掛一“后左、右兩堆的策數(shù)，a+b≡48，r1、r2分別代表兩次”歸奇“的策數(shù)，m=4，因此有
r1+r2≡48〔mod 4〕≡0〔mod 4〕
這表明r1+r2是4的倍數(shù)，又因為每一”奇數(shù)“必為1、2、3、4四個數(shù)字之一，所以兩次”歸奇“的總數(shù)等于4或8；再加上先前的”掛一“，一變后左手所仂策數(shù)必為5或9，而所乘策數(shù)為44或40。
從第二變起不再”掛一“，經(jīng)過”分二“、”揲四“、”歸奇“三個步驟，可得
r1+r2≡44〔mod 4〕≡40〔mod 4〕≡0〔mod 4〕
同理可知二變”歸奇“的總數(shù)等于4或8，將它們仂 于左手二、三指間，則案面所乘參與三變的策數(shù)必為以下三者之一：44－4＝40，44－8＝40－4＝36，40－8＝32。
仿此，在三變中”歸奇“之數(shù)有
r1+r2≡40≡36≡32≡0〔mod 4〕
總數(shù)也應等于4或8，仂于左手一、二指間。此時左手所仂策數(shù)最多為25，案面所剩策數(shù)則為以下四者之一：40－4＝36，40－8＝36－4＝32，36－8＝32－4＝28，32－8＝24。
以上四數(shù)俱為4的倍數(shù)，以4來除商數(shù)分別是9、8、7、6。三變的目的就在于獲得這四個數(shù)字之一；其中9、7對應于陽，8、6對應于陰，三變占得一爻。同樣的程序重復六次即得一卦，故曰”十有八變而成卦“。這就是《周易》筮法的成卦過程。十分顯然，這一方法的創(chuàng)造者是具有原始形態(tài)的同余概念并通曉其某些性質(zhì)的。
由于《周易》在中國古代文化中的特殊地位，其筮法受到力圖借數(shù)學”通神明、順性命“的數(shù)學家的重視就不足為奇了。高度機械化的成卦過程是否對中國古算產(chǎn)生影響姑且不論，僅就同余概念的發(fā)展布而言，《周易》確實是一個重要的來源。秦九韶不但將自己最得意的成果命名為”大衍求一術“，而且借著卦發(fā)微題引進一個不同于《周易》筮法的占筮程序就是一個明證?！矂⒓儭洞笤昭詳?shù)》遼寧教育出版社〕
……
同余概念的另一個來源是古代制定歷法的需要。古代歷家根據(jù)長期的觀測記錄，已能推算日、月、五星的運動周期并由此規(guī)定各自的起點，例如回歸年即以冬至時刻為起點，朔望月即以平均合朔時刻為起點，而干支記日則以甲子日夜半零時為起點，它們一般并不同時。為了推算上的方便，古代歷家引進了一個叫做上元的概念，即假定遠古某一時刻各種天文周期恰好處于同一個起點上，這一起點就是上元。自上元到本年經(jīng)過的年數(shù)叫做上元積年，在測得本年相關周期的起點后求上元積年的問題，就是一個解同余式組的問題。例如已知a為回歸年日數(shù)、r1為本年冬至距其前一個甲子日零時的時間、b為朔望月日數(shù)、r2為冬至距前一個平朔的時間，那么上元積年x滿足下面的一次同余式組
ax≡r1〔mod 60〕≡r2〔mod b〕
實際計算中要對上式中的a、b、r1、r2進行通分以使所有數(shù)字化為整數(shù)。如果再假定月球的近地點和升交點以及五星運動周期的起點均在上元，那么上元積年的計算就要考慮更多的同余式。
這一結論得到了歷代史志和天文學史研究的支持。新近的研究表明，早在西漢末年劉歆編制《三統(tǒng)歷》的時候就已引入了上元的概念，并實際計算了《三統(tǒng)歷》和古四分歷的上元積年數(shù)據(jù)，其計算過程有賴于一類特定的一次不定方程或同余式組的求解。東漢劉洪的《乾象歷》首先將上元積年數(shù)據(jù)列為歷法第一條：“上元乙巳以來至建安十一年〔206〕丙戌歲，積七千三百七十八年?！币约鬃訛樯显獎t始于西晉劉智的《正歷》：“推甲子為上元，至泰始十年〔274〕，歲在甲午，九萬七千四百一十一歲，上元天正甲子朔夜半冬至，日月五星始于星紀，得元首之端?！逼浜笸跛分锻v》、后秦姜岌之《三紀甲子元歷》都有關于甲子上元的記載，而祖沖之的《大明歷》更是在考慮了9個同余關系的基礎上計算出上元積年來的。因此成書于南北朝時代的《孫子算經(jīng)》中的物不知數(shù)問題，絕不會是作者向壁虛構的智力游戲，而很有可能是對當時歷家推算上元積年問題的數(shù)字概括。
從劉歆直到元代郭守敬以前，中國的歷家往往把畢生心血傾注在上元積年的推算上，埋頭于各種天文周期的測驗；因而從某種程度上來講，一部中國古代的歷法史，幾乎就是上元積年的演算史。與此密切相關的一次同余式組的理論和算法，就是在這種背景下發(fā)展起來的。
其實，同余計算在易學中很常見，因為只要是周期性循環(huán)的運算，大都要應用到同余，而易學特別是術數(shù)部類中的周期性循環(huán)計算和操作特別多，幾乎每一術數(shù)分支都是以同余運算為基本運算方法，甚至可以說離開了同余運算，此分支就不復存在。諸如六十甲子、六十納音、四柱中的起大小運和星神取用、奇門遁甲的飛宮、三元地理的飛星、六爻的配六獸，大六壬的起課，紫微斗數(shù)的排宮，等等等等，無一不運用同余計算。例如六十甲子就是兩種同余計算的組合，天干是以10為模求余，地支是以12為模求余。此外，梅花易數(shù)的數(shù)字起卦法，也是以8為模求余，而求動爻之法，則是以6為模求余。
第二節(jié) 復數(shù)散陣
[一]
洛書數(shù)不是孤立的三階幻方和數(shù)陣，我們還可以運用一種“相反極性”的邏輯來重新理解洛書的“平行對稱性”和“平行等價性”。
若要利用“相反極性”的數(shù)理模型給洛書建立一種新的解釋方法，還必須遵循兩條原則：
1、新的數(shù)理模型必須同洛書是處於同一層次的數(shù)理模型；因為洛書是最簡幻方，故新模型也必須是某種最簡的數(shù)理模型。
2、由于“相反極性”的邏輯有相反的手征性，故新數(shù)理模型必須進行手征性反相。
在此，我們建立的最簡“復數(shù)散陣”則是滿足上述條件的“新洛書方陣”。
我們已經(jīng)知道：八卦本是圓上的八個矢量，故八卦圖實際上是一種平面復數(shù)的坐標圖，其坐標原點是圓心〔即中宮〕，洛書則是用正整數(shù)模擬圓的一個坐標方陣。但是，現(xiàn)在我們可以更直接地用復數(shù)平面坐標圖來標示此圖：
[圖，復數(shù)平面坐標圖]
圖注：此圖左東右西、下北上南。我們之所以用橫軸表虛數(shù)而縱軸表實數(shù)，下、左為正而上、右為負，是根據(jù)上述原則來予以手征性反相的。此外，復數(shù)的排列也嚴格按照坐標圖實部和虛部的實際順序排列，也沒有按照西方數(shù)學中強行規(guī)定的左實右虛的排列方式。這一手征性的反相，是東西方文化比較學中被人忽視但至關重要的一環(huán)，結論之正誤往往因此而導出。
上圖排入九宮格，即成“復數(shù)散陣”：
[圖，復數(shù)散陣]
此圖亦有若干與洛書相同的性質(zhì)：
1、過中宮之連線上的三數(shù)之和相等，具有圓之象；
2、沖、合、害和其他類似的運算之得數(shù)與洛書相同，而且更直截了當。
我們按這兩條性質(zhì)一一分析。
相沖--
[圖]
相沖之化數(shù)直接等於中宮之數(shù)。它意味著中宮之數(shù)“五”與“零”等價。
相合--
[圖]
相合也直接計算出了八宮之數(shù)。
相害--
相害俱直接得“2”宮之數(shù)。
子卯相刑--
[圖]
子卯刑得傷門之數(shù)。
其他化數(shù)--
[圖]
上述運算不僅可以直接求出所化之宮數(shù)，而且在多項式的計算過程，連交換律都無須使用，可以直接計算出各宮數(shù)的原貌。洛書三合局和三會局之計算，還要通過太乙宮位的轉換，而復數(shù)散陣卻可以直接計算出所對應之宮。
三合局--
申子辰合水局：
[圖]
震兌二宮反相，則各局化數(shù)與宮位吻合。
三會局--
亥子丑會水局：
[圖]
奇點之震兌二宮互換，則其化數(shù)與會局五行吻合。
上面是按八個矢量〔即八卦〕計算的，下面我們還要進一步從十二地支的角度予以考察。我們認為，從數(shù)理的角度考察，十二地支是對於復數(shù)散陣的一種模擬。我們的理由是：
一、十二地支是一群模棱兩可的單元；它們似乎是十二個矢量，可以指代十二月、十二時辰、十二經(jīng)脈等，但它們又似乎是八個矢量，其中四隅各自以兩支合成一個矢量〔卦〕而指代西南方、東南方，西北方、東北方，十二支一共只指代八方。這一點與復數(shù)之性質(zhì)相同，因為四隅之 、 、 ， 既是一個數(shù)，又像是兩個數(shù)。
二、如果把復數(shù)散陣里的八個數(shù)看成是十二個數(shù)，配上十二地支可得下圖：
[圖，復數(shù)散陣與十二地支]
肆互壹局中若干計算和歧異現(xiàn)象都可從此得到直接顯現(xiàn)：
六沖--
[圖]
諸對沖之支所配之數(shù)相加全部等於零，為中宮之數(shù)。讀者可自行計算。
六合--
[圖]
子丑合
寅亥合 →歧異
卯戌合
辰酉合
巳申合 →歧異
午未合
上述乘積俱得 ，可以認為是丑支或艮宮之數(shù)〔丑艮俱為土〕，其中唯有巳申合、寅亥合歧異，其積是復數(shù)散陣中沒有的數(shù)，故為“刑合”。這里之所以認為是丑支之數(shù)，當然還要與前面的計算合參，這也是易學整體性理論的特點，不能孤立地看問題。
六害--
[圖]
酉戌害
申亥害 →歧異
子未害
丑午害
寅巳害 →歧異
卯辰害
六害之化數(shù)為 ，可以認為是未支或坤宮之數(shù)〔坤宮與未支俱屬土〕，唯寅亥、巳申之化數(shù)歧異。巳申、寅亥之刑合以及巳申寅三刑之特異之象由此可以得到直接的證明。
子卯相刑--
[圖]
三合局與三會局--
[圖]
申子辰合水→一宮數(shù)之一半
寅午戌合火→九宮數(shù)之一半
亥卯未合木→七宮數(shù)之一半
巳酉丑合金→三宮數(shù)之一半
我們在地支式的運算中，四隅之數(shù)都只取了一半，故化數(shù)也為各宮數(shù)的一半。
再看三會局：
[圖]
亥子丑合水→一宮數(shù)之一半
寅亥戌合火→九宮數(shù)之一半
亥卯未合木→七宮數(shù)之一半
巳酉丑合金→三宮數(shù)之一半
上述各種運算，無一不與肆互壹局的相互作用之化宮數(shù)相吻合。
其他平行對稱圖中的化合關系--
1、一六宮連線之平行圖：
[圖]
子亥乘
丑戌乘 →歧異
寅酉乘
卯申乘
辰未乘 →歧異
巳午乘
此平行圖中，唯丑戌乘和辰未乘之積歧異，正與洛書計算及完整的復數(shù)相乘之結果相同。此外，其共同之乘積可視為亥支之數(shù)，為乾宮屬金，但此宮無屬金的地支，這也是此組的相互關系不被“肆互壹局”選用的原因之一。
2、三八宮連線之平行圖：
[圖]
寅卯乘
丑辰乘 →歧異之數(shù)
子巳乘
亥午乘
戌未乘 →歧異之數(shù)
酉申乘
此組乘積中，也是丑辰、戌未之積化歧異之數(shù)。這兩組乘積也證明了丑戌未三刑的歧異的數(shù)理性質(zhì)。此外，此化數(shù)也可以認為是巳支之數(shù)，巳為火而巽宮為木，五行不同，這也是此組相互作用不入肆互壹局的原因之一。
結論，從上面七種分析比較，可看出十二地支之特性與復數(shù)散陣中的十二個“數(shù)碼”的特性如此吻合，不可能用偶合來解釋。我們認為，十二地支數(shù)目的安排規(guī)定，不僅是對物理世界中自然現(xiàn)象〔如一年有十二個月、人體的十二經(jīng)脈等等〕的簡單模擬，而且是有更深刻的數(shù)理本原。
[五]
我們還要進一步探討：為什么洛書被稱之為乘除之原？為什么六合、六害的相互作用能夠用乘法求余表達？為什么六沖的相互作用卻要用加法？這幾種計算方法有何深刻的內(nèi)涵？這些“原問題”若不徹底解決，是不能證明“化數(shù)原則”〔同余計算〕的正確性的，充其量只是證明了古人是這么計算的，而沒有說明為什么要這么計算，仍然是知其然而不知其所以然！。
這些問題，我們可以從兩種洛書的等價模式中得到啟發(fā)和解釋。
一、洛書的平面坐標作用。
洛書是一種特定的非線性平面坐標系統(tǒng)。從本質(zhì)上講，八卦是八個最簡單的離散系，是八個矢變量，因此任何事物的任何變化只能固定在坐標圖的八個矢量加上坐標原點的九個點〔即九宮〕上，換言之，這九個點是萬事萬物的運動軌跡--即，地支與地支、天干與天干、天干與地支、八卦與八卦相互作用產(chǎn)生的新矢量，也只能在此八個矢量位置加上原點九個位置上躍躚，而不能逃逸到九個點之外去。
或問：為什么八卦可以相互轉化？
因為八個矢量的絕對值〔在復數(shù)中稱為“?！薄呈堑葍r的，它們都等價於圓半徑r，也可以說是等價於單位“1”，僅僅是各自的極性不同或曰在復數(shù)平面上的幅角 〔指矢量與正實軸的夾角〕不同。這正是離散系的基本特征。這八個矢量雖然極性不同，但又是旋轉對稱性的。我們知道：在物理學上的對稱不僅僅指幾何圖形上的對稱，而且指各對稱單元可以協(xié)變出某種等價的值。由於八卦是一種高度抽象的數(shù)理模式，故同時有形和數(shù)的兩種對稱性顯示。前文中肆互壹局的分析中，僅有平行圖象而無等價的協(xié)變量，或僅是有等價的協(xié)變量而無平行圖象都夠不上對稱的標準。
又問：為什么洛書被稱為乘除之原？
因為洛書八宮表示的是八個絕對值都等於圓半徑或的值，“1”和“1”相乘或相除仍然是“1”，其絕對值不變，唯幅角發(fā)生改變，所以在洛書運算中必須用是乘法；為什么洛書乘法所得之積只留下尾數(shù)〔即西方數(shù)學中的以“10”為模的“同余數(shù)”〕？因為洛書九個數(shù)并不代表矢量的絕對值，只表示矢量的方向、極性和宮位，所以只留尾數(shù)就夠了；其同余尾數(shù)能否正確反映矢量的實際方向呢？前文我們已有初步證明，下文中將進一步徹底證明。
為什么某些特殊情況下要改用加法呢？因為乘法永遠得不出“5”或“零”，即反映不出八卦躍躚進入中宮，所以要改用加法。這種加法是否能夠正確反映八卦的真實運動狀態(tài)，也是我們所要證明的。
二、八卦的相互作用的洛書運算。
八卦系統(tǒng)各矢量的相互作用只有兩種情況，第一種，相互作用之矢量處於同一直徑上，即兩矢量的連線過中宮，第二種，不過中宮即兩矢量不在同一直線上。
試分別討論。
對待之宮的相互作用--
當兩卦或兩地支處於過原點的同一直徑上時，兩矢量之模相等而極性截然相反，此二矢量若相互作用，則陰陽極性抵消泯滅，處於中性狀態(tài)，用力學的觀點是其合力為零。在力學中是用求代數(shù)和的方法計算合力的，以乾卦與坤卦相互作用為例，在復數(shù)散陣中是〔+1〕+〔-1〕＝0，在洛書中為1+9＝10，此兩種計算方法等價。
由此我們也可悟出，所謂八卦入中宮，實際上并沒有入中宮，只是其合力等於零，其作用點在中宮上，見圖。
[圖]
為了簡化運算規(guī)則，洛書計算可全部換成乘法，只要補充一條：凡連線過中宮者必須乘上中宮之數(shù)；因為任何正整數(shù)乘以5，其積不為10 即為5，仍然是中宮之數(shù)而等價於零。我們在以后的計算中即采用此法。
非對待之宮相互作用--
[圖]
兩矢量不處於同一直徑上而相互作用時，它們的模數(shù)相等，唯方向不同，但又不是截然相反，僅有偏角的差別。我們不能用加法，因為按照復數(shù)的加法法則，其和用幾何表示法時表現(xiàn)為此二矢量所構成的平行四邊形之對角線。以一八宮相加為例，見圖。
[圖]
oa為一宮之矢量，ob為八宮之矢量，其和為：
oa+ob=oc
矢量■已不在八宮之上，亦即不在八卦系統(tǒng)之內(nèi)，沒有任何意義。故此種情況下加法運算沒有任何理論和實踐意義。
八卦系統(tǒng)兩個矢量的相互作用就好比同一羅盤上兩枚磁針相互作用，只會造成磁針的旋轉而不會逃逸到羅盤之外或縮到羅盤之內(nèi)去。
而乘法則不然，我們說過，洛書或復數(shù)散陣內(nèi)兩矢量相乘，且絕對值永遠等於“1”，僅方向發(fā)生改變，就像上面說的磁針。復數(shù)的乘法還有一種幾何表示法，兩復數(shù)的乘積之模數(shù)〔即絕對值〕等於它們的模數(shù)之乘積，且幅角〔指Ｘ軸的正方向與此矢量之間的夾角〕相加。見圖表118。
[圖]
復數(shù)相乘本來就有旋轉之義，由於此八個矢量之模均等於“ 1 “，故其乘積就只可能在太極圖的圓周上旋轉；又由於相鄰兩矢量之間的夾角均為 45°〔記為 〕，故兩矢量相乘之積必定準確地落在八卦原有的八個固定位置之上。換言之，兩矢變量相乘，其?！步^對值〕不變，僅產(chǎn)生移宮現(xiàn)象。例如： 乘以 〔即六三宮相乘〕時，積之模數(shù)〔1×1＝1〕不變，而幅角 則有：
換成洛書相乘法就是：
6×3＝18→化8
換成復數(shù)散陣相乘法就是：
[圖]
由此可證，通過洛書數(shù)的乘法運算，可以正確而簡捷地反映八卦系統(tǒng)內(nèi)部的相互作用關系。雖然洛書的計算有不直觀之處，我們?nèi)钥梢酝ㄟ^復數(shù)散陣相互發(fā)明、相互彌補。
[六]
洛書方陣的三維空間坐標作用。
洛書方陣不僅可以反映兩維平面中最簡離散對稱系之相互關系和相互作用，還可反映三維空間任何最簡離散對稱系之間的關系和相互作用。
[圖，三維空間與八卦]
八卦在三維空間中的矢量關系就是正八面體八個角上的矢量，其坐標原點即中宮就是各對角線之交點，也就是此正八面體外接球體的球心。至此，洛書所表現(xiàn)的”圓象“就變換成”圓球“之象了。洛書亦能反映此球體模式中八個對稱之矢量的相互關系和相互作用。
1、1+5+9＝2+5+8
?。?+5+7
?。?+5+6
?。?ｒ 〔ｒ為球體半徑〕
1+8+6＝8+3+4
＝4+9+2
?。?+7+6
?。絻衫庵汀不蛞焕饧右槐砻嬷畬蔷€〕
2、對待之宮兩矢量相互作用，亦有極性消失之象，可用乘法加乘中宮之數(shù)計算；由於正八面體的八角頂點俱在外接球體之上，非對待之宮之矢量相互作用時，也會產(chǎn)生類似於復數(shù)平面上的相變〔即移宮〕現(xiàn)象，我們也同樣可以用洛書的乘法進行計算移宮之走向。二八易位后，亦會形成男女卦族之對待之象，此圖中同樣有對稱性自發(fā)破缺現(xiàn)象。見圖。
[圖]
由此圖可以看出，二八易位的前后，”陰部洛書數(shù)“與”陽部洛書數(shù)“形成整體的非局域性對稱。
[七]
洛書方陣與復數(shù)散陣，對八卦系統(tǒng)數(shù)理的詮釋與發(fā)揮，各有其不足，也各有彼此不可替代的優(yōu)勢。
洛書的主要缺點為：
1、各矢量數(shù)本身不能直接體現(xiàn)該矢量的極性、方向、幅角；
2、各矢量數(shù)不能直接準確地表達該矢量真實的絕對值〔模〕；
3、作為坐標原點的中宮數(shù)不是”0“，而是”5“或”10“，很容易使人產(chǎn)錯誤的理解。
洛書雖然有缺點，但由於有太極圖、八卦、天干、地支與洛書互為表里，其不足已在實際運用中被不自覺地得到了彌補。例如，我們提到”9“宮之數(shù)時，自然明白此數(shù)是指南方、且與”1“宮數(shù)的極性相反，而且知道這里配有先天的乾卦、后天的離卦、八門中的景門、時間是午月，等等，并不把它當成是自然數(shù)”9“；又如中宮之數(shù)”5“，我們也知道它在圓中心；再次，八個卦與圓心的距離為圓半徑也有直觀的顯現(xiàn)，等等。
復數(shù)散陣的最大優(yōu)勢是精確地表達了兩維平面中各矢量的極性和模，而且清晰地解釋了八卦以及十二地支間的相互關系和運算方法，并直接解釋了為什么平行對稱性〔即洛書中的同余運算〕會等價，加深了我們對洛書方陣的理解。
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