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1.8 內(nèi)力分析方法

1.8.1 力法

1.基本結(jié)構(gòu)

對(duì)超靜定結(jié)構(gòu)，去掉多余約束，使原結(jié)構(gòu)變成靜定結(jié)構(gòu)，這樣形成的靜定結(jié)構(gòu)稱(chēng)為基本結(jié)構(gòu)。如圖1.8-1a去掉支座B的約束，就得到基本結(jié)構(gòu)，如圖1.8-1b所示。原結(jié)構(gòu)變?yōu)閳D1.8-1c，其中X₁為多余約束中產(chǎn)生的約束力。

圖1.8-1 基本結(jié)構(gòu)

2.力法方程

基本結(jié)構(gòu)在B點(diǎn)的豎向位移必須為零，即

δ₁₁X₁+Δ_1p=0 （1.8-1）

式中，δ₁₁為基本結(jié)構(gòu)在X₁=1作用下沿X₁的指向引起的位移；Δ_1p為基本結(jié)構(gòu)在荷載P作用下沿X₁的指向引起的位移。δ₁₁稱(chēng)為系數(shù)，Δ_1p稱(chēng)為自由項(xiàng)。方程（1.8-1）稱(chēng)為力法方程。

為計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)，繪出M_p圖和 圖，如圖1.8-2所示。應(yīng)用圖乘法求得

求解力法方程，得 （↑）。多余力X₁求得后，繪內(nèi)力圖，這是靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算問(wèn)題。但是，在力法分析中采用以下疊加公式計(jì)算M，即

圖1.8-2 M_p圖和M₁圖

上述公式對(duì)結(jié)構(gòu)上的任何點(diǎn)均適用。先選定若干控制點(diǎn)，求出這些點(diǎn)上的M值，然后繪制M圖。例如

最后繪制M圖，如圖1.8-3所示。

3.力法典型方程

對(duì)于n次超靜定結(jié)構(gòu)，可去掉n個(gè)多余約束，得到靜定的基本結(jié)構(gòu)。將n個(gè)多余力視作附加荷載與原來(lái)的荷載一起加在基本結(jié)構(gòu)上。利用n個(gè)多余約束處已知的位移條件，建立求n個(gè)多余力的力法方程，稱(chēng)為力法典型方程。

圖1.8-3 M圖

式中，δ_ii稱(chēng)為主系數(shù)（永遠(yuǎn)為正值），δ_ij（i≠j）稱(chēng)為副系數(shù)（可正可負(fù)），Δ_iP稱(chēng)為自由項(xiàng)。Δi為約束i處的已知位移。

顯然，δ_ij=δ_ji。

應(yīng)用疊加法計(jì)算截面的M值

然后繪出最后彎矩圖。根據(jù)彎矩圖，再按各桿隔離體平衡條件，求出桿端剪力，繪制剪力圖。根據(jù)剪力圖，可用類(lèi)似的方法繪出軸力圖。

1.8.2 力矩分配法

力矩分配法適用于計(jì)算無(wú)節(jié)點(diǎn)線位移的剛架和連續(xù)梁。

1.幾個(gè)術(shù)語(yǔ)

（1）桿端轉(zhuǎn)動(dòng)剛度 所謂桿端轉(zhuǎn)動(dòng)剛度是指一根桿結(jié)構(gòu)（梁）ik，i端不發(fā)生移動(dòng)只轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)單位轉(zhuǎn)角，i端需要施加多大的力矩，即為ik桿i端的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度，用S_ik表示。兩端固定桿，S_ik=4i；一端固定另端鉸支桿，S_ik=3i；一端固定另端滑動(dòng)支座桿，S_ik=i。i為梁的線剛度，i=EI/l，E為梁材料的彈性模量，I為梁截面慣性矩，l為梁長(zhǎng)。

（2）節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛度 圖1.8-4表示節(jié)點(diǎn)i連接幾根桿。節(jié)點(diǎn)i轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)單位轉(zhuǎn)角時(shí)需要在節(jié)點(diǎn)i上加的力矩稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)i的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度S_i。

顯然

（3）分配系數(shù) 即

（4）傳遞系數(shù) 節(jié)點(diǎn)i發(fā)生單位轉(zhuǎn)角時(shí)，與i相連的某桿的遠(yuǎn)端彎矩與近端彎矩的比值稱(chēng)為該桿的傳遞系數(shù)C_ik，應(yīng)用桿端彎矩公式推得：遠(yuǎn)端固定桿，C_ik=1/2；遠(yuǎn)端鉸支桿，C_ik=0；遠(yuǎn)端滑動(dòng)支座，C_ik=-1。

2.力矩分配法概念

圖1.8-5為只有一個(gè)節(jié)點(diǎn)且無(wú)線位移的結(jié)構(gòu)。在節(jié)點(diǎn)A上受有一力偶荷載。這樣的狀態(tài)稱(chēng)為一個(gè)力矩分配單元。只有在分配單元上才能施行力矩分配和傳遞。

圖1.8-4 節(jié)點(diǎn)i連接幾根桿

圖1.8-5 只有一個(gè)節(jié)點(diǎn)且無(wú)線位移的結(jié)構(gòu)

力矩分配法運(yùn)算步驟：

（1）節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛度 因?yàn)?img alt="978-7-111-45870-8-Chapter01-228.jpg" src="https://img.dushu.com/2024/04/28/20260284748635.jpg" /> ， ， ，所以

（2）計(jì)算分配系數(shù) ， ，

（3）傳遞系數(shù) C_AC=0，C_AD=-1，

（4）計(jì)算分配彎矩

（5）計(jì)算傳遞彎矩

這樣，就把力矩M分配和傳遞給每根桿的兩端。

【例1.8-1】 用力矩分配法計(jì)算圖1.8-6所示結(jié)構(gòu)。

解答：1.桿端轉(zhuǎn)動(dòng)剛度S_BA=3i，S_BC=4i

2.節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛度S_B=7i

3.計(jì)算分配系數(shù)

4.查固端彎矩

5.進(jìn)行分配和傳遞

6.繪M圖

圖1.8-6 【例1.8-1】圖

【例1.8-2】 有一根三跨的鋼筋混凝土等截面連續(xù)梁，q=p+g=25kN/m（設(shè)計(jì)值），如圖1.8-7所示?；炷翉?qiáng)度等級(jí)為C30，梁縱向受力鋼筋采用HRB335，縱向受力鋼筋合力點(diǎn)至截面近邊的距離a_s=35mm，梁截面b×h=200mm×500mm。

圖1.8-7 【例1.8-2】圖

1.假定當(dāng)L₁=6m，L₂=8m，L₃=5m，該梁彎矩分配系數(shù)μ_BA及B支座的不平衡彎矩ΔM應(yīng)與下列（ ）組數(shù)據(jù)相近。

（A）0.50；20.8kN·m （B）0.45；93.75kN·m

（C）0.385；112.5kN·m （D）0.625；133.3kN·m

答案：（A）

解答：AB梁線剛度：

BC梁線剛度：

梁彎矩分配系數(shù)：

查固端彎矩：

不平衡彎矩： ΔM=（133.3-112.5）kN·m=20.8kN·m

2.假定調(diào)整L₁、L₂、L₃跨度后B支座左右兩端的分配系數(shù)分別為0.45，0.55；支座固端彎矩分別為100kN·m、-150kN·m。C支座左右兩端分配系數(shù)為0.4，0.6；固端彎矩為150kN·m、-120kN·m，試問(wèn)該梁進(jìn)行二次彎矩重分配，B、C支座的彎矩接近（ ）組數(shù)據(jù)。

（A）M_B=113.2kN·m，M_C=129kN·m （B）M_B=153.12kN·m，M_C=151kN·m

（C）M_B=126.44kN·m，M_C=146.25kN·m （D）M_B=153.12kN·m，M_C=129kN·m

答案：（C）

解答：彎矩分配過(guò)程如下

M_B=126.44kN·m M_C=146.25kN·m

【例1.8-3】 有一工業(yè)廠房為高低跨排架，低跨跨度為15m，高跨跨度為24m，柱間距為6m，該廠房采用預(yù)應(yīng)力混凝土屋架，屋面采用預(yù)應(yīng)力大型屋面板。車(chē)間的縱向全長(zhǎng)度為120m，在車(chē)間中部60m處設(shè)有雙柱溫度伸縮縫，車(chē)間四周的圍護(hù)墻為240mm磚墻。建筑平面及剖面如圖1.8-8所示。

1.廠房各列柱靜荷載（標(biāo)準(zhǔn)值）作用如圖1.8-9所示。圖中t為舊規(guī)范的荷載單位，計(jì)算時(shí)應(yīng)換成新規(guī)范的kN。試確定作用于中柱Ⅰ—Ⅰ截面處的N和M值（標(biāo)準(zhǔn)值）與下列（ ）項(xiàng)數(shù)值最為接近。

提示：（1）產(chǎn)生順時(shí)針彎矩為正值，反之為負(fù)值。

（2）B列柱豎向荷載11.11t和7.56t作用于同一垂直線上（1t=10kN）。

（A）N=410.80kN，M=-16.88kN·m （B）N=410.80kN，M=16.88kN·m

（C）N=317.50kN，M=-21.47kN·m （D）N=410.80kN，M=-30.75kN·m

圖1.8-8 【例1.8-3】圖

圖1.8-9 廠房各列柱靜荷載示意圖

答案：（D）

解答：軸力：N=（111.1+75.6+18.5+74.8+130.8）kN=410.8kN

彎矩：M=（74.8×0.55-75.6×0.35-111.1×0.35-130.8×0.05）kN·m

=-30.75kN·m

2.在如圖1.8-9所示的柱?的靜荷載（標(biāo)準(zhǔn)值）作用下，用力法求解出排架橫梁內(nèi)力為：低跨x₁=0.34kN，高跨x₂=1.40kN。靜荷載（標(biāo)準(zhǔn)值）作用下排架計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖1.8-10所示。試確定作用于?軸外柱G和柱根N處的M值（標(biāo)準(zhǔn)值）與下列（ ）項(xiàng)數(shù)值最為接近。彎矩方向同1.的規(guī)定。

圖1.8-10 計(jì)算簡(jiǎn)圖

（A）M_G上=0.66kN·m，M_G下=4.34kN·m，M_N=-8.82kN·m

（B）M_G上=0.66kN·m，M_G下=-10.62kN·m，M_N=-8.82kN·m

（C）M_G上=-5.88kN·m，M_G下=2.18kN·m，M_N=-15.34kN·m

（D）M_G上=-5.88kN·m，M_G下=-5.88kN·m，M_N=-19.04kN·m

答案：（A）

解答：M_G上=（-1.4×4.2+130.8×0.05）kN·m=0.66kN·m

M_G下=（-1.4×4.2+130.8×0.25+18.5×0.2-74.8×0.35）kN·m

=4.34kN·m

M_N=（-1.4×13.6+130.8×0.25+18.5×0.2-74.8×0.35）kN·m

=-8.82kN·m

3.在廠房高跨內(nèi)A₅級(jí)工作制雙鉤吊車(chē)的大車(chē)輪距為4.4m（每側(cè)兩輪），兩臺(tái)吊車(chē)間的最小輪距為1.1m。設(shè)定最大輪壓P_max=152kN（標(biāo)準(zhǔn)值），輪壓的分項(xiàng)系數(shù)為1.4。結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)使用年限為50年。簡(jiǎn)支吊車(chē)梁的跨度為6m。兩臺(tái)吊車(chē)傳給柱子牛腿的最大壓力（設(shè)計(jì)值）與下列（ ）項(xiàng)數(shù)值最為接近。

（A）585.20kN （B）415.60kN （C）769.10kN （D）549.36kN

答案：（B）

解答：吊車(chē)荷載下柱影響線如圖1.8-11所示。

圖1.8-11 柱影響線

A₅級(jí)工作制雙鉤吊車(chē)荷載折減系數(shù)ψ_c=0.9

D_max=r_qψ_cP_maxΣy_i=1.4×0.9×152×2.17kN=415.6kN

1.8.3 靜定桁架的計(jì)算方法

靜定桁架一般采用節(jié)點(diǎn)法和截面法進(jìn)行內(nèi)力計(jì)算。

【例1.8-4】 有一鋼筋混凝土非預(yù)應(yīng)力屋架，如圖1.8-12所示。結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)使用年限為50年。已知：屋架混凝土強(qiáng)度等級(jí)為C30。節(jié)點(diǎn)集中荷載P=P₁+P₂，恒荷載P₁=12kN（標(biāo)準(zhǔn)值且包括構(gòu)件自重），活荷載P₂=6kN（標(biāo)準(zhǔn)值且活荷載大于4kN/m²）。

提示：（1）計(jì)算屋架桿件內(nèi)力時(shí)不考慮節(jié)點(diǎn)次應(yīng)力的影響。

（2）上弦桿的計(jì)算長(zhǎng)度可取節(jié)間長(zhǎng)度的兩倍。

（3）基本組合為由可變荷載效應(yīng)控制的組合。

1.在活荷載作用下的支座反力為R_Av（設(shè)計(jì)值，kN）應(yīng)該和下列（ ）項(xiàng)數(shù)值相接近。

（A）R_Av=23.4 （B）R_Av=25.2 （C）R_Av=21 （D）R_Av=19.5

答案：（B）

解答：荷載設(shè)計(jì)值：1.4×P₂=8.4kN

圖1.8-12 【例1.8-4】圖

2.在恒荷載和活荷載的作用下，上弦桿件S₁的內(nèi)力設(shè)計(jì)值（kN）與下列（ ）項(xiàng)數(shù)值相接近。

（A）153.02 （B）124.16 （C）148.99 （D）127.51

答案：（D）

解答：采用節(jié)點(diǎn)法：P=（1.2×12+1.4×6）kN=22.8kN

由節(jié)點(diǎn)靜力平衡：

（與假設(shè)的方向相反）（受壓）