時(shí)憲二 △推步算術(shù)
推步新法所用者，曰平三角形，曰弧三角形，曰橢圓形。今撮其大旨，證立法之原，驗(yàn)用數(shù)之實(shí)，都為一十六術(shù)，著于篇。
平三角形者，三直線相遇而成。其線為邊，兩線所夾空處為角。有正角，當(dāng)全圓四分之一，如甲乙丙形之甲角。有銳角，不足四分之一，如乙、丙兩角。有鈍角，過(guò)四分之一，如丁戊己形之戊角。圖形尚無(wú)資料 角之度無(wú)論多寡，皆有其相當(dāng)之八線。曰正弦、正矢、正割、正切，所有度與九十度相減馀度之四線也，如甲乙為本度，則丙乙為馀度。正弦乙戊，正矢甲戊，正割庚丁，正切庚甲，馀弦乙己，馀矢丙己，馀割辛丁，馀切辛丙。若壬癸為本度，則丑癸為馀度，正弦癸辰，正矢壬辰，馀弦癸卯，馀矢丑卯，馀割子寅，馀切丑寅。以壬癸過(guò)九十度無(wú)正割、正切，借癸午之子未為正割，午未為正切。若正九十度丑壬為本度，則無(wú)馀度，丑子半徑為正弦，壬子半徑為正矢，亦無(wú)正割、正切，并無(wú)馀弦、馀矢、馀割、馀切。
古定全圓周為三百六十度，四分之一稱(chēng)一象限，為九十度。每度六十分，每分六十秒，每秒六十微。圓半徑為十萬(wàn)，后改千萬(wàn)。逐度逐分求其八線，備列于表。推算三角，在九十度內(nèi)，欲用某度某線，就表取之，算得某線。欲知某度，就表對(duì)之。過(guò)九十度者，欲用正弦、正割、正切及四馀，以其度與半周相減馀，就表取之。欲用正矢，取馀弦加半徑為之。既得某線，欲知某度，就表對(duì)得其度與半周相減馀命之。
圖形尚無(wú)資料 算平三角凡五術(shù)：
一曰對(duì)邊求對(duì)角，以所知邊為一率，對(duì)角正弦為二率，所知又一邊為三率，二三相乘，一率除之，求得四率，為所不知之對(duì)角正弦。如圖甲乙為所知邊，丁角為所知對(duì)角，乙丁為所知又一邊，甲角為所不知對(duì)角也。此其理系兩次比例省為一次。如圖乙丁為半徑之比，乙丙為丁角正弦之比。法當(dāng)先以半徑為一率，丁角正弦為二率，乙丁為三率，求得四率中垂線乙丙。既得乙丙，甲乙為半徑之比，乙丙又為甲角正弦之比。乃以甲乙為一率，乙丙為二率，半徑為三率，求得四率，自為甲角正弦。然后合而算之，以先之一率半徑與后之一率甲乙相乘為共一率，先之二率丁角正弦與后之二率乙丙相乘為共二率，先之三率乙丁與后之三率半徑相乘為共三率，求得四率，自為先之四率乙丙與后之四率甲角正弦相乘數(shù)，仍當(dāng)以乙丙除之，乃得甲角正弦。后既當(dāng)除，不如先之勿乘。共二率內(nèi)之乙丙與三率相乘者也，乘除相報(bào)，乙丙宜省。又共三率內(nèi)之半徑與二率相乘者也，共一率內(nèi)之半徑又主除之，乘除相報(bào)，半徑又宜省。故徑以甲乙為一率，丁角正弦為二率，乙丁為三率，求得四率，為甲角正弦。
二曰對(duì)角求對(duì)邊，以所知角正弦為一率，對(duì)邊為二率，所知又一角正弦為三率，求得四率，為所不知對(duì)邊。此其理具對(duì)邊求對(duì)角，反觀自明。
三曰兩邊夾一角求不知之二角，以所知角旁?xún)蛇呄嗉訛橐宦?，相減馀為二率，所知角與半周相減，馀為外角，半之，取其正切為三率，求得四率，為半較角正切。對(duì)表得度，與半外角相加，為對(duì)所知角旁略大邊之角；相減，馀為對(duì)所知角旁略小邊之角。此其理一在平三角形。三角相并，必共成半周。如圖甲乙丙形，中垂線甲丁，分為兩正角形。正角為長(zhǎng)方之半，長(zhǎng)方四角皆正九十度，正角形兩銳角斜剖長(zhǎng)方，此角過(guò)九十度之半幾何，彼角不足九十度之半亦幾何，一線徑過(guò)，其勢(shì)然也。故甲右邊分角必與乙角合為九十度，甲左邊分角必與丙角合為九十度。論正角形各加丁角，皆成半周，合為銳角形。除去丁角，三角合亦自為半周。故既知一角之外，其馀二角雖不知各得幾何度分，必知其共得此角減半周之馀也。一在三角同式形比例。如圖丙庚戊形，知丙庚、丙戊兩邊及丙角。展丙庚為丙甲，連丙戊為甲戊，兩邊相加。截丙戊于丙丁，為戊丁，兩邊相減馀。作庚丁虛線，丙庚、丙丁同長(zhǎng)，庚丁向圓內(nèi)二角必同度，是皆為丙角之半外角，與甲辛、辛庚之度等。而庚向圓外之角，即本形庚角大于戊角之半，是為半外角。以庚丁為半徑之比，則甲庚即為丁半外角正切之比。半徑與正切恆為正角，甲庚與庚丁圓內(nèi)作兩通弦，亦無(wú)不成正角故也。又作丁己線，與甲庚平行，庚丁仍為半徑之比，丁己又為庚向圓外半較角正切之比。而戊甲庚大形與戊丁己小形，戊甲、戊丁既在一線，甲庚、丁己又系平行，自然同式。故甲戊兩邊相加為一率，戊丁兩邊相減馀為二率，甲庚半外角正切為三率，求得四率，自當(dāng)丁己半較角正切也。
四曰兩角夾一邊求不知之一角，以所知兩角相并，與半周相減，馀即得。此其理具兩邊夾一角。
五曰三邊求角，以大邊為底，中、小二邊相并相減，兩數(shù)相乘，大邊除之，得數(shù)與大邊相加折半為分底大邊，相減馀折半為分底小邊。乃以中邊為一率，分底大邊為二率，半徑為三率，求得四率，為對(duì)小邊角馀弦。或以小邊為一率，分底小邊為二率，半徑為三率，求得四率，為對(duì)中邊角馀弦。此其理在勾股弦冪相求及兩方冪相較。如圖甲丙中邊、甲乙小邊皆為弦，乙丙大邊由丁分之，丁丙、丁乙皆為勾，中垂線甲丁為股。勾股冪相并恆為弦冪，今甲丁股既兩形所同，則甲丙大弦冪多于甲乙小弦冪，即同丙丁大勾冪多于乙丁小勾冪。又兩方冪相較，恆如兩方根和較相乘之?dāng)?shù)。如圖戊寅壬庚為大方冪，減去己卯辛庚小方冪，馀戊己卯辛壬寅曲矩形。移卯癸壬辛為癸寅丑子，成一直方形，其長(zhǎng)戊丑，自為大方根戊寅、小方根卯辛之和；其闊戊己，自為大方根戊庚、小方根己庚之較。故甲乙丙形，甲丙、甲乙相加為和，相減為較。兩數(shù)相乘，即如丙丁、丁乙和較相乘之?dāng)?shù)。丙乙除之，自得其較。丙午相加相減各折半，自得丙丁及乙丁，既得丙丁、乙丁，各以丙甲、乙甲為半徑之比，丙丁、乙丁自為馀弦之比矣。
此五術(shù)者，有四不待算，一不可算。對(duì)邊求對(duì)角，令所知兩邊相等，則所求角與所知角必相等。對(duì)角求對(duì)邊，令所知兩角相等，則所求邊與所知邊必相等。兩邊夾一角，令所知兩邊相等，則所求二角必正得所知外角之半。三邊求角，令二邊相等，即分不等者之半為底邊；三邊相等，即平分半周三角皆六十度，皆不待算也。若對(duì)邊求對(duì)角，所知一邊數(shù)少，對(duì)所知一角銳；又所知一邊數(shù)多，求所對(duì)之角，不能知其為銳、為鈍，是不可算也。諸題求邊角未盡者，互按得之。
弧三角形者，三圓周相遇而成，其邊亦以度計(jì)。九十度為足，少于九十度為小，過(guò)九十度為大。其角銳、鈍、正與平三角等。算術(shù)有七：
一曰對(duì)邊求對(duì)角，以所知邊正弦為一率，對(duì)角正弦為二率，所知又一邊正弦為三率，求得四率，為所求對(duì)角正弦。此其理亦系兩次比例省為一次。如圖甲乙丙形，知甲乙、丙乙二邊及丙角，求甲角。作乙辛垂弧，半徑與丙角正弦之比，同于乙丙正弦與乙辛正弦之比。法當(dāng)以半徑為一率，丙角正弦為二率，乙丙正弦為三率，求得四率，為乙辛正弦。既得乙辛正弦，甲乙正弦與乙辛正弦之比，同于半徑與甲角正弦之比。乃以甲乙正弦為一率，乙辛正弦為二率，半徑為三率，求得四率，為甲角正弦。然乘除相報(bào)，可省省之。
二曰對(duì)角求對(duì)邊，以所知角正弦為一率，對(duì)邊正弦為二率，所知又一角正弦為三率，求得四率，為所求對(duì)邊正弦。此其理反觀自明。
三曰兩邊夾一角，或銳或鈍，求不知之一邊。以半徑為一率，所知角馀弦為二率，任以所知一邊正切為三率，求得四率，命為正切。對(duì)表得度，與所知又一邊相減，馀為分邊。乃以前得度馀弦為一率，先用邊馀弦為二率，分邊馀弦為三率，求得四率，為不知之邊馀弦。原角鈍，分邊大，此邊??；分邊小，此邊大。原角銳，分邊小，此邊??；分邊大，此邊大。此其理系三次比例省為二次。如圖甲丙丁形，知甲丙、甲丁二邊及甲角，中作垂弧丙乙，半徑與甲角馀弦之比，同于甲丙正切與甲乙正切之比。先一算為易明。既分甲丁于乙，而得丁乙分邊，甲乙馀弦與半徑之比，同于甲丙馀弦與丙乙馀弦之比。法當(dāng)先以甲乙馀弦為一率，半徑為二率，甲丙馀弦為三率，求得四率，為丙乙馀弦。既得丙乙馀弦，半徑與乙丁馀弦之比，同于丙乙馀弦與丁丙馀弦之比。乃以半徑為一率，乙丁馀弦為二率，丙乙馀弦為三率，求得四率，為丁丙馀弦。然而乘除相報(bào)，故從省。兩邊夾一角若正，則徑以所知兩邊馀弦相乘半徑除之，即得不知邊之馀弦，理自明也。所知兩邊俱大俱小，此邊小；所知兩邊一小一大，此邊大。
四曰兩角夾一邊，求不知之一角。以角為邊，以邊為角，反求之；得度，反取之；求、取皆與半周相減。
五曰所知兩邊對(duì)所知兩角，或銳、或鈍，求不知之邊角。以半徑為一率，任以所知一角之馀弦為二率，對(duì)所知又一角之邊正切為三率，求得四率，命為正切，對(duì)表得度。復(fù)以所知又一角、一邊如法求之，復(fù)得度。視原所知兩角銳、鈍相同，則兩得度相加；不同，則兩得度相減；皆加減為不知之邊。乃按第一術(shù)對(duì)邊求對(duì)角，即得不知之角。原又一角鈍，對(duì)先用角之邊大于后得度，此角鈍；對(duì)先用角之邊小于后得度，此角銳。原又一角銳，對(duì)先用角之邊小于后得度，此角鈍；對(duì)先用角之邊大于后得度，此角銳。此其理系垂弧在形內(nèi)與在形外之不同，及角分銳鈍，邊殊大小，前后左右俯仰向背之相應(yīng)。如圖甲乙丙形，甲乙二角俱銳，兩銳相向，故垂弧丙丁，從中取正，而在形內(nèi)。己丙庚形，己庚二角俱鈍，兩鈍相向，故垂弧戊丙亦在形內(nèi)。庚丙乙形，庚乙兩角，一銳一鈍相違，垂弧丙丁，從外補(bǔ)正，自在形外。在形內(nèi)者判底邊為二，兩得分邊之度，如乙丁、丁甲，合而成一底邊如乙甲，故宜相加。在形外者，引底邊之馀，兩得分邊之度，如庚丁、乙丁，重而不揜，底邊如庚乙，故宜相減。銳鈍大小之相應(yīng)，亦如右圖審之。所知兩邊對(duì)所知兩角有一正，則一得度即為不知之邊，理亦自明。
六曰三邊求角，以所求角旁?xún)蛇呎蚁喑藶橐宦剩霃阶猿藶槎?，兩邊相減馀為較弧，取其正矢與對(duì)邊之正矢相減馀為三率，求得四率，為所求角正矢。此其理在兩次比例省為一次。如圖甲壬乙形，求甲角，其正矢為丑丁。法當(dāng)以甲乙邊正弦乙丙為一率，半徑乙己為二率，兩邊較弧正矢乙癸與對(duì)邊正矢乙卯相減馀癸卯同辛子為三率，求得四率為壬辛。乃以甲壬邊正弦戊辛為一率，壬辛為二率，半徑己丁為三率，求得四率為丑丁。甲角正矢亦以乘除相報(bào)，故從省焉?！ ∑咴蝗腔蜾J、或鈍求邊，以角為邊，反求其角；既得角，復(fù)取為邊；求、取皆與半周相減。此其理在次形，如圖甲乙丙形，甲角之度為丁戊，與半周相減為戊己，其度必同于次形子辛午之子辛邊，蓋丑卯為乙之角度丑點(diǎn)之交，甲乙弧必為正角，丁戊為甲之角度戊點(diǎn)之交，甲乙弧亦必為正角。以一甲乙而交丑辛、戊辛二弧皆成正角，則二弧必皆九十度，弧三角之勢(shì)如此也。戊辛既九十度，子己亦九十度，去相覆之戊子，己戊自同子辛，于是庚癸必同子午，卯未必同午辛，理皆如是矣。而此形之馀角既皆為彼形之邊，彼形馀角不得不為此形之邊，故反取之而得焉。若三角有一正，除正角外，以一角之正弦為一率，又一角之馀弦為二率，半徑為三率，求得四率，為對(duì)又一角之邊馀弦。此其理亦系次形，而以正角及一角為次形之角，以又一角加減象限為次形對(duì)角之邊，取象稍異。
凡茲七術(shù)，惟邊角相求，有銳鈍、大小不能定者，然推步無(wú)其題，不備列。此七題中求邊角有未盡者，互按得之。
橢圓形者，兩端徑長(zhǎng)、兩腰徑短之圓面。然必其應(yīng)規(guī)，乃可推算。作之之術(shù)，任以?xún)牲c(diǎn)各為心，一點(diǎn)為界，各用一針釘之，圍以絲線，末以鉛筆代為界之。針引而旋轉(zhuǎn)，即成橢圓形。如圖甲己午三點(diǎn)，如法作之，為丑午巳未橢圓，寅丑、寅巳為大半徑，寅午、寅未為小半徑，寅甲為兩心差，己甲為倍兩心差。甲午數(shù)如寅巳，亦同寅丑，己午如之；二數(shù)相和，恆與丑巳同。令午針引至申，甲申、申己長(zhǎng)短雖殊，共數(shù)不易。甲午同大半徑之?dāng)?shù)如弦，兩心差如勾，小半徑如股，但知兩數(shù)，即可以勾股術(shù)得不知之一數(shù)。若求面積，以平方面率四００００００００為一率，平圓面率三一四一五九二六五為二率，大小徑相乘成長(zhǎng)方面為三率，求得四率為橢圓面積。若求中率半徑，大小半徑相乘，平方開(kāi)之即得。然自甲心出線，離丑右旋，如圖至戌，甲丑、甲戌之間，有所割之面積，亦有所當(dāng)之角度。
角積相求，爰有四術(shù)： 一曰以角求積，以半徑為一率，所知角度正弦為二率，倍兩心差為三率，求得四率為倍兩心差之端，垂線如己酉。又以半徑為一率，所知角度馀弦為二率，倍兩心差為三率，求得四率為界度積線，引出之線如甲酉，倍兩心差之端垂線為勾自乘。以引出之線，與甲戌、己戌和如巳丑大徑者相加為股弦和，除之得較。和、較相加折半為己戌弦，與大徑相減為甲戌線。又以半徑為一率，所知角正弦為二率，甲戌線為三率，求得四率為戌亥邊。又以小徑為一率，大徑為二率，戌亥邊為三率，求得四率為辰亥邊。又以大半徑寅辰同寅丑為一率，半徑為二率，辰亥邊為三率，求得四率為正弦，對(duì)表得度。又以半周天一百八十度化秒為一率，半圓周三一四一五九二六為二率，所得度化秒為三率，求得四率為比例弧線。又以半徑為一率，大半徑為二率，比例弧線為三率，求得四率為辰丑弧線，與大半徑相乘折半，為寅辰丑分平圓面積。又以大半徑為一率，小半徑為二率，分平圓面積為三率，求得四率為寅戌丑分橢圓面積。乃以寅甲兩心差與戌亥邊相乘折半，與寅戌丑相減，為甲戌、甲丑之間所割面積。此其理具本圖及平三角、弧三角，其法至密。 二曰以積求角，以?xún)尚牟顪p大半徑馀得甲丑線自乘為一率，中率半徑自乘為二率，甲戌、甲丑之間面積為三率，求得四率為中率面積，如甲氐亢。分橢圓面積為三百六十度，取一度之面積為法除之，即得甲戌、甲丑之間所夾角度，此其理為同式形比例。然甲亢與甲氐同長(zhǎng)，甲戌則長(zhǎng)于甲丑，以所差不多，借為同數(shù)。若引戌至心，甲丑甲心所差實(shí)多，仍須用前法求甲戌線，借甲戌甲心相近為同數(shù)求之。
三曰借積求積，以所知面積，如圖之辛甲丑，用一度之面積為法除之，得面積之度。設(shè)其度為角度，于倍兩心差之端如庚己丑。以半徑為一率，己角正弦為二率，倍兩心差為三率，求得四率為甲子垂線。又以半徑為一率，己角馀弦為二率，倍兩心差為三率，求得四率為己子分邊。甲子為勾自乘，己子與大徑相減馀為股弦和，除之得股弦較。和、較相加折半得甲庚線。又以甲庚線為一率，甲子垂線為二率，半徑為三率，求得四率為庚角正弦，得度與己角相加為庚甲丑角。乃用以角求積法，求得庚甲丑面積，與辛甲丑面積相減馀如庚甲辛，又用以積求角法，求得度，與庚甲丑角相加，即得辛甲丑角。
四曰借角求角，以所知面積如前法取為積度，如丑甲丁。設(shè)其度為角度，于橢圓心如丁乙辛。以小半徑為一率，大半徑為二率，所設(shè)角度正切為三率，求得四率為丁乙癸角正切。對(duì)表得度，乃于倍兩心差之端丙作丙丑線，即命丑丙甲角如癸乙丁之角度，乃將丙丑線引長(zhǎng)至寅，使丑寅與甲丑等，則丙寅同大徑。又作甲寅線，成甲寅丙三角形，用切線分外角法求得寅角，倍之為甲丙丑形之丑角，與丙角相加為丑甲丁角。此其理癸乙甲角度多于丑甲丁積度，為子乙癸角度。即以此度當(dāng)前之補(bǔ)算辛甲庚者，蓋所差無(wú)多也。
此四術(shù)內(nèi)凡單言半徑者，皆八線表一千萬(wàn)之?dāng)?shù)。圖形尚無(wú)資料
推步新法所用者，曰平三角形，曰弧三角形，曰橢圓形。今撮其大旨，證立法之原，驗(yàn)用數(shù)之實(shí)，都為一十六術(shù)，著于篇。
平三角形者，三直線相遇而成。其線為邊，兩線所夾空處為角。有正角，當(dāng)全圓四分之一，如甲乙丙形之甲角。有銳角，不足四分之一，如乙、丙兩角。有鈍角，過(guò)四分之一，如丁戊己形之戊角。圖形尚無(wú)資料 角之度無(wú)論多寡，皆有其相當(dāng)之八線。曰正弦、正矢、正割、正切，所有度與九十度相減馀度之四線也，如甲乙為本度，則丙乙為馀度。正弦乙戊，正矢甲戊，正割庚丁，正切庚甲，馀弦乙己，馀矢丙己，馀割辛丁，馀切辛丙。若壬癸為本度，則丑癸為馀度，正弦癸辰，正矢壬辰，馀弦癸卯，馀矢丑卯，馀割子寅，馀切丑寅。以壬癸過(guò)九十度無(wú)正割、正切，借癸午之子未為正割，午未為正切。若正九十度丑壬為本度，則無(wú)馀度，丑子半徑為正弦，壬子半徑為正矢，亦無(wú)正割、正切，并無(wú)馀弦、馀矢、馀割、馀切。
古定全圓周為三百六十度，四分之一稱(chēng)一象限，為九十度。每度六十分，每分六十秒，每秒六十微。圓半徑為十萬(wàn)，后改千萬(wàn)。逐度逐分求其八線，備列于表。推算三角，在九十度內(nèi)，欲用某度某線，就表取之，算得某線。欲知某度，就表對(duì)之。過(guò)九十度者，欲用正弦、正割、正切及四馀，以其度與半周相減馀，就表取之。欲用正矢，取馀弦加半徑為之。既得某線，欲知某度，就表對(duì)得其度與半周相減馀命之。
圖形尚無(wú)資料 算平三角凡五術(shù)：
一曰對(duì)邊求對(duì)角，以所知邊為一率，對(duì)角正弦為二率，所知又一邊為三率，二三相乘，一率除之，求得四率，為所不知之對(duì)角正弦。如圖甲乙為所知邊，丁角為所知對(duì)角，乙丁為所知又一邊，甲角為所不知對(duì)角也。此其理系兩次比例省為一次。如圖乙丁為半徑之比，乙丙為丁角正弦之比。法當(dāng)先以半徑為一率，丁角正弦為二率，乙丁為三率，求得四率中垂線乙丙。既得乙丙，甲乙為半徑之比，乙丙又為甲角正弦之比。乃以甲乙為一率，乙丙為二率，半徑為三率，求得四率，自為甲角正弦。然后合而算之，以先之一率半徑與后之一率甲乙相乘為共一率，先之二率丁角正弦與后之二率乙丙相乘為共二率，先之三率乙丁與后之三率半徑相乘為共三率，求得四率，自為先之四率乙丙與后之四率甲角正弦相乘數(shù)，仍當(dāng)以乙丙除之，乃得甲角正弦。后既當(dāng)除，不如先之勿乘。共二率內(nèi)之乙丙與三率相乘者也，乘除相報(bào)，乙丙宜省。又共三率內(nèi)之半徑與二率相乘者也，共一率內(nèi)之半徑又主除之，乘除相報(bào)，半徑又宜省。故徑以甲乙為一率，丁角正弦為二率，乙丁為三率，求得四率，為甲角正弦。
二曰對(duì)角求對(duì)邊，以所知角正弦為一率，對(duì)邊為二率，所知又一角正弦為三率，求得四率，為所不知對(duì)邊。此其理具對(duì)邊求對(duì)角，反觀自明。
三曰兩邊夾一角求不知之二角，以所知角旁?xún)蛇呄嗉訛橐宦?，相減馀為二率，所知角與半周相減，馀為外角，半之，取其正切為三率，求得四率，為半較角正切。對(duì)表得度，與半外角相加，為對(duì)所知角旁略大邊之角；相減，馀為對(duì)所知角旁略小邊之角。此其理一在平三角形。三角相并，必共成半周。如圖甲乙丙形，中垂線甲丁，分為兩正角形。正角為長(zhǎng)方之半，長(zhǎng)方四角皆正九十度，正角形兩銳角斜剖長(zhǎng)方，此角過(guò)九十度之半幾何，彼角不足九十度之半亦幾何，一線徑過(guò)，其勢(shì)然也。故甲右邊分角必與乙角合為九十度，甲左邊分角必與丙角合為九十度。論正角形各加丁角，皆成半周，合為銳角形。除去丁角，三角合亦自為半周。故既知一角之外，其馀二角雖不知各得幾何度分，必知其共得此角減半周之馀也。一在三角同式形比例。如圖丙庚戊形，知丙庚、丙戊兩邊及丙角。展丙庚為丙甲，連丙戊為甲戊，兩邊相加。截丙戊于丙丁，為戊丁，兩邊相減馀。作庚丁虛線，丙庚、丙丁同長(zhǎng)，庚丁向圓內(nèi)二角必同度，是皆為丙角之半外角，與甲辛、辛庚之度等。而庚向圓外之角，即本形庚角大于戊角之半，是為半外角。以庚丁為半徑之比，則甲庚即為丁半外角正切之比。半徑與正切恆為正角，甲庚與庚丁圓內(nèi)作兩通弦，亦無(wú)不成正角故也。又作丁己線，與甲庚平行，庚丁仍為半徑之比，丁己又為庚向圓外半較角正切之比。而戊甲庚大形與戊丁己小形，戊甲、戊丁既在一線，甲庚、丁己又系平行，自然同式。故甲戊兩邊相加為一率，戊丁兩邊相減馀為二率，甲庚半外角正切為三率，求得四率，自當(dāng)丁己半較角正切也。
四曰兩角夾一邊求不知之一角，以所知兩角相并，與半周相減，馀即得。此其理具兩邊夾一角。
五曰三邊求角，以大邊為底，中、小二邊相并相減，兩數(shù)相乘，大邊除之，得數(shù)與大邊相加折半為分底大邊，相減馀折半為分底小邊。乃以中邊為一率，分底大邊為二率，半徑為三率，求得四率，為對(duì)小邊角馀弦。或以小邊為一率，分底小邊為二率，半徑為三率，求得四率，為對(duì)中邊角馀弦。此其理在勾股弦冪相求及兩方冪相較。如圖甲丙中邊、甲乙小邊皆為弦，乙丙大邊由丁分之，丁丙、丁乙皆為勾，中垂線甲丁為股。勾股冪相并恆為弦冪，今甲丁股既兩形所同，則甲丙大弦冪多于甲乙小弦冪，即同丙丁大勾冪多于乙丁小勾冪。又兩方冪相較，恆如兩方根和較相乘之?dāng)?shù)。如圖戊寅壬庚為大方冪，減去己卯辛庚小方冪，馀戊己卯辛壬寅曲矩形。移卯癸壬辛為癸寅丑子，成一直方形，其長(zhǎng)戊丑，自為大方根戊寅、小方根卯辛之和；其闊戊己，自為大方根戊庚、小方根己庚之較。故甲乙丙形，甲丙、甲乙相加為和，相減為較。兩數(shù)相乘，即如丙丁、丁乙和較相乘之?dāng)?shù)。丙乙除之，自得其較。丙午相加相減各折半，自得丙丁及乙丁，既得丙丁、乙丁，各以丙甲、乙甲為半徑之比，丙丁、乙丁自為馀弦之比矣。
此五術(shù)者，有四不待算，一不可算。對(duì)邊求對(duì)角，令所知兩邊相等，則所求角與所知角必相等。對(duì)角求對(duì)邊，令所知兩角相等，則所求邊與所知邊必相等。兩邊夾一角，令所知兩邊相等，則所求二角必正得所知外角之半。三邊求角，令二邊相等，即分不等者之半為底邊；三邊相等，即平分半周三角皆六十度，皆不待算也。若對(duì)邊求對(duì)角，所知一邊數(shù)少，對(duì)所知一角銳；又所知一邊數(shù)多，求所對(duì)之角，不能知其為銳、為鈍，是不可算也。諸題求邊角未盡者，互按得之。
弧三角形者，三圓周相遇而成，其邊亦以度計(jì)。九十度為足，少于九十度為小，過(guò)九十度為大。其角銳、鈍、正與平三角等。算術(shù)有七：
一曰對(duì)邊求對(duì)角，以所知邊正弦為一率，對(duì)角正弦為二率，所知又一邊正弦為三率，求得四率，為所求對(duì)角正弦。此其理亦系兩次比例省為一次。如圖甲乙丙形，知甲乙、丙乙二邊及丙角，求甲角。作乙辛垂弧，半徑與丙角正弦之比，同于乙丙正弦與乙辛正弦之比。法當(dāng)以半徑為一率，丙角正弦為二率，乙丙正弦為三率，求得四率，為乙辛正弦。既得乙辛正弦，甲乙正弦與乙辛正弦之比，同于半徑與甲角正弦之比。乃以甲乙正弦為一率，乙辛正弦為二率，半徑為三率，求得四率，為甲角正弦。然乘除相報(bào)，可省省之。
二曰對(duì)角求對(duì)邊，以所知角正弦為一率，對(duì)邊正弦為二率，所知又一角正弦為三率，求得四率，為所求對(duì)邊正弦。此其理反觀自明。
三曰兩邊夾一角，或銳或鈍，求不知之一邊。以半徑為一率，所知角馀弦為二率，任以所知一邊正切為三率，求得四率，命為正切。對(duì)表得度，與所知又一邊相減，馀為分邊。乃以前得度馀弦為一率，先用邊馀弦為二率，分邊馀弦為三率，求得四率，為不知之邊馀弦。原角鈍，分邊大，此邊??；分邊小，此邊大。原角銳，分邊小，此邊??；分邊大，此邊大。此其理系三次比例省為二次。如圖甲丙丁形，知甲丙、甲丁二邊及甲角，中作垂弧丙乙，半徑與甲角馀弦之比，同于甲丙正切與甲乙正切之比。先一算為易明。既分甲丁于乙，而得丁乙分邊，甲乙馀弦與半徑之比，同于甲丙馀弦與丙乙馀弦之比。法當(dāng)先以甲乙馀弦為一率，半徑為二率，甲丙馀弦為三率，求得四率，為丙乙馀弦。既得丙乙馀弦，半徑與乙丁馀弦之比，同于丙乙馀弦與丁丙馀弦之比。乃以半徑為一率，乙丁馀弦為二率，丙乙馀弦為三率，求得四率，為丁丙馀弦。然而乘除相報(bào)，故從省。兩邊夾一角若正，則徑以所知兩邊馀弦相乘半徑除之，即得不知邊之馀弦，理自明也。所知兩邊俱大俱小，此邊小；所知兩邊一小一大，此邊大。
四曰兩角夾一邊，求不知之一角。以角為邊，以邊為角，反求之；得度，反取之；求、取皆與半周相減。
五曰所知兩邊對(duì)所知兩角，或銳、或鈍，求不知之邊角。以半徑為一率，任以所知一角之馀弦為二率，對(duì)所知又一角之邊正切為三率，求得四率，命為正切，對(duì)表得度。復(fù)以所知又一角、一邊如法求之，復(fù)得度。視原所知兩角銳、鈍相同，則兩得度相加；不同，則兩得度相減；皆加減為不知之邊。乃按第一術(shù)對(duì)邊求對(duì)角，即得不知之角。原又一角鈍，對(duì)先用角之邊大于后得度，此角鈍；對(duì)先用角之邊小于后得度，此角銳。原又一角銳，對(duì)先用角之邊小于后得度，此角鈍；對(duì)先用角之邊大于后得度，此角銳。此其理系垂弧在形內(nèi)與在形外之不同，及角分銳鈍，邊殊大小，前后左右俯仰向背之相應(yīng)。如圖甲乙丙形，甲乙二角俱銳，兩銳相向，故垂弧丙丁，從中取正，而在形內(nèi)。己丙庚形，己庚二角俱鈍，兩鈍相向，故垂弧戊丙亦在形內(nèi)。庚丙乙形，庚乙兩角，一銳一鈍相違，垂弧丙丁，從外補(bǔ)正，自在形外。在形內(nèi)者判底邊為二，兩得分邊之度，如乙丁、丁甲，合而成一底邊如乙甲，故宜相加。在形外者，引底邊之馀，兩得分邊之度，如庚丁、乙丁，重而不揜，底邊如庚乙，故宜相減。銳鈍大小之相應(yīng)，亦如右圖審之。所知兩邊對(duì)所知兩角有一正，則一得度即為不知之邊，理亦自明。
六曰三邊求角，以所求角旁?xún)蛇呎蚁喑藶橐宦剩霃阶猿藶槎?，兩邊相減馀為較弧，取其正矢與對(duì)邊之正矢相減馀為三率，求得四率，為所求角正矢。此其理在兩次比例省為一次。如圖甲壬乙形，求甲角，其正矢為丑丁。法當(dāng)以甲乙邊正弦乙丙為一率，半徑乙己為二率，兩邊較弧正矢乙癸與對(duì)邊正矢乙卯相減馀癸卯同辛子為三率，求得四率為壬辛。乃以甲壬邊正弦戊辛為一率，壬辛為二率，半徑己丁為三率，求得四率為丑丁。甲角正矢亦以乘除相報(bào)，故從省焉?！ ∑咴蝗腔蜾J、或鈍求邊，以角為邊，反求其角；既得角，復(fù)取為邊；求、取皆與半周相減。此其理在次形，如圖甲乙丙形，甲角之度為丁戊，與半周相減為戊己，其度必同于次形子辛午之子辛邊，蓋丑卯為乙之角度丑點(diǎn)之交，甲乙弧必為正角，丁戊為甲之角度戊點(diǎn)之交，甲乙弧亦必為正角。以一甲乙而交丑辛、戊辛二弧皆成正角，則二弧必皆九十度，弧三角之勢(shì)如此也。戊辛既九十度，子己亦九十度，去相覆之戊子，己戊自同子辛，于是庚癸必同子午，卯未必同午辛，理皆如是矣。而此形之馀角既皆為彼形之邊，彼形馀角不得不為此形之邊，故反取之而得焉。若三角有一正，除正角外，以一角之正弦為一率，又一角之馀弦為二率，半徑為三率，求得四率，為對(duì)又一角之邊馀弦。此其理亦系次形，而以正角及一角為次形之角，以又一角加減象限為次形對(duì)角之邊，取象稍異。
凡茲七術(shù)，惟邊角相求，有銳鈍、大小不能定者，然推步無(wú)其題，不備列。此七題中求邊角有未盡者，互按得之。
橢圓形者，兩端徑長(zhǎng)、兩腰徑短之圓面。然必其應(yīng)規(guī)，乃可推算。作之之術(shù)，任以?xún)牲c(diǎn)各為心，一點(diǎn)為界，各用一針釘之，圍以絲線，末以鉛筆代為界之。針引而旋轉(zhuǎn)，即成橢圓形。如圖甲己午三點(diǎn)，如法作之，為丑午巳未橢圓，寅丑、寅巳為大半徑，寅午、寅未為小半徑，寅甲為兩心差，己甲為倍兩心差。甲午數(shù)如寅巳，亦同寅丑，己午如之；二數(shù)相和，恆與丑巳同。令午針引至申，甲申、申己長(zhǎng)短雖殊，共數(shù)不易。甲午同大半徑之?dāng)?shù)如弦，兩心差如勾，小半徑如股，但知兩數(shù)，即可以勾股術(shù)得不知之一數(shù)。若求面積，以平方面率四００００００００為一率，平圓面率三一四一五九二六五為二率，大小徑相乘成長(zhǎng)方面為三率，求得四率為橢圓面積。若求中率半徑，大小半徑相乘，平方開(kāi)之即得。然自甲心出線，離丑右旋，如圖至戌，甲丑、甲戌之間，有所割之面積，亦有所當(dāng)之角度。
角積相求，爰有四術(shù)： 一曰以角求積，以半徑為一率，所知角度正弦為二率，倍兩心差為三率，求得四率為倍兩心差之端，垂線如己酉。又以半徑為一率，所知角度馀弦為二率，倍兩心差為三率，求得四率為界度積線，引出之線如甲酉，倍兩心差之端垂線為勾自乘。以引出之線，與甲戌、己戌和如巳丑大徑者相加為股弦和，除之得較。和、較相加折半為己戌弦，與大徑相減為甲戌線。又以半徑為一率，所知角正弦為二率，甲戌線為三率，求得四率為戌亥邊。又以小徑為一率，大徑為二率，戌亥邊為三率，求得四率為辰亥邊。又以大半徑寅辰同寅丑為一率，半徑為二率，辰亥邊為三率，求得四率為正弦，對(duì)表得度。又以半周天一百八十度化秒為一率，半圓周三一四一五九二六為二率，所得度化秒為三率，求得四率為比例弧線。又以半徑為一率，大半徑為二率，比例弧線為三率，求得四率為辰丑弧線，與大半徑相乘折半，為寅辰丑分平圓面積。又以大半徑為一率，小半徑為二率，分平圓面積為三率，求得四率為寅戌丑分橢圓面積。乃以寅甲兩心差與戌亥邊相乘折半，與寅戌丑相減，為甲戌、甲丑之間所割面積。此其理具本圖及平三角、弧三角，其法至密。 二曰以積求角，以?xún)尚牟顪p大半徑馀得甲丑線自乘為一率，中率半徑自乘為二率，甲戌、甲丑之間面積為三率，求得四率為中率面積，如甲氐亢。分橢圓面積為三百六十度，取一度之面積為法除之，即得甲戌、甲丑之間所夾角度，此其理為同式形比例。然甲亢與甲氐同長(zhǎng)，甲戌則長(zhǎng)于甲丑，以所差不多，借為同數(shù)。若引戌至心，甲丑甲心所差實(shí)多，仍須用前法求甲戌線，借甲戌甲心相近為同數(shù)求之。
三曰借積求積，以所知面積，如圖之辛甲丑，用一度之面積為法除之，得面積之度。設(shè)其度為角度，于倍兩心差之端如庚己丑。以半徑為一率，己角正弦為二率，倍兩心差為三率，求得四率為甲子垂線。又以半徑為一率，己角馀弦為二率，倍兩心差為三率，求得四率為己子分邊。甲子為勾自乘，己子與大徑相減馀為股弦和，除之得股弦較。和、較相加折半得甲庚線。又以甲庚線為一率，甲子垂線為二率，半徑為三率，求得四率為庚角正弦，得度與己角相加為庚甲丑角。乃用以角求積法，求得庚甲丑面積，與辛甲丑面積相減馀如庚甲辛，又用以積求角法，求得度，與庚甲丑角相加，即得辛甲丑角。
四曰借角求角，以所知面積如前法取為積度，如丑甲丁。設(shè)其度為角度，于橢圓心如丁乙辛。以小半徑為一率，大半徑為二率，所設(shè)角度正切為三率，求得四率為丁乙癸角正切。對(duì)表得度，乃于倍兩心差之端丙作丙丑線，即命丑丙甲角如癸乙丁之角度，乃將丙丑線引長(zhǎng)至寅，使丑寅與甲丑等，則丙寅同大徑。又作甲寅線，成甲寅丙三角形，用切線分外角法求得寅角，倍之為甲丙丑形之丑角，與丙角相加為丑甲丁角。此其理癸乙甲角度多于丑甲丁積度，為子乙癸角度。即以此度當(dāng)前之補(bǔ)算辛甲庚者，蓋所差無(wú)多也。
此四術(shù)內(nèi)凡單言半徑者，皆八線表一千萬(wàn)之?dāng)?shù)。圖形尚無(wú)資料
鄂公網(wǎng)安備 42010302001612號(hào)