天文略 【三】
日月五步規(guī)法上
○日月五步規(guī)法上
歷元
度法及赤道黃地道平經(jīng)緯度
歲實
日躔盈縮
日道交周
月離遲疾
實朔望
△歷元
后漢志日周于天一寒一暑四時備成萬物畢改攝提遷次青龍移辰謂之歲歲首至也月首朔也至朔同日謂之章同在日首謂之蔀蔀
終六旬謂之紀歲朔又復(fù)謂之元是故日以實之月以閏之時以分之歲以周之章以明之蔀以部之紀以記之元以原之然后雖有變化萬殊
贏朒無方莫不結(jié)系于此而稟正焉漢太初歷以前厯上元泰初四千六百一十七歲至于元封七年復(fù)得閼逢攝提格之歲中冬十一月甲子
朔旦冬至日月在建星太歲在子已得太初本星度新正其法十九年為一章二十七章為一會三會為一統(tǒng)三統(tǒng)為一元得四千六百十七歲
劉歆三統(tǒng)歷因之所謂九會而復(fù)元者是也熹平四年五官郎中馮光沛相上計掾陳晃言歷元不正蔡邕議以為三光之行遲速進退不必若
一術(shù)家以算追而求之取合于當(dāng)時而已故有古今之術(shù)今之不能上通于古亦猶古術(shù)之不能下通于今也元命苞干鑿度皆以為開辟至獲
麟二百七十六萬歲即命歷序積獲麟至漢起庚子蔀之二十三歲竟己酉戊子及丁卯蔀六十九歲合為二百七十五歲漢元年歲在乙未上
至獲麟則歲在庚申推此以上上極開辟則不在庚申讖雖無文其數(shù)見存而光晃以為開辟至獲麟二百七十五萬九千八百八十六歲獲麟
至漢百六十二歲轉(zhuǎn)差少一百一十四歲云其議備載后漢書志自太初以后雖諸術(shù)所用積年不同而立元之率莫之有改唐建中時術(shù)者曹
士蒍始變古法以顯慶五年為上元雨水為歲首號符天術(shù)行于民閑謂之小歷又五代石晉高祖時司天監(jiān)馬重績造調(diào)元術(shù)以唐天寶十四
載乙未為上元雨水為氣首元郭守敬造授時歷始用其術(shù)以至元辛巳為元明大統(tǒng)歷因之后徐光啟李天經(jīng)采用西術(shù)亦以崇禎戊辰為元
?。ǔ迹┑戎敯雌哒胁灰黄渎使蕷v家遠取上古積年之元以齊之虞恭宗欣所謂建歷之本必先立元元正然后定日法法立然后
度周天以定分至是也授時不用積年舊術(shù)而加氣閏轉(zhuǎn)交四應(yīng)以紀當(dāng)時實測之?dāng)?shù)而為上考下求起算之率則七政之行皆可齊矣氣應(yīng)以
紀冬至閏應(yīng)以紀經(jīng)朔轉(zhuǎn)應(yīng)以紀月行遲疾交應(yīng)以紀月之陰陽厯皆截算法也近梅文鼎所論授時歷元尤為明晰今備載之其詞曰造法者
必有起算之端是謂歷元歷元之法有二其一遠溯古初冬至以七曜齊元之日為元自漢太初至金重修大明術(shù)各家所用之積年是也其一
為截算之元自元授時不用積年日法直以至元辛巳為元而今西法亦以崇禎戊辰為元是也二者不同然以是為起算之端一而已矣然則
二者無優(yōu)劣乎曰授時優(yōu)夫所謂七曜齊元者謂上古之時歲月日時皆會甲子而又日月如合璧五星如連珠故取以為造法之根數(shù)也使其
果然雖萬世遵用可矣乃今廿一史中所載諸家歷元無一同者是其積年之久近皆非有所受之于前直以巧算取之而已然謂其一無所據(jù)
而出于胸臆則又非也當(dāng)其立法之初亦皆有所驗于近事然后本其時之所實測以旁證于書傳之所傳約其合者既有數(shù)端遂援之以立術(shù)
于是溯而上之至于數(shù)千萬年之遠庶幾各率可以齊同積年之法所由立也然既欲其上合歷元又欲其不違近測畸零分秒之?dāng)?shù)必不能齊
勢不能不稍為整頓以求巧合其始也據(jù)近測以求積年其既也且將因積年而改近測矣又安得以為定法乎授時術(shù)知其然故一以實測為
憑而不用積年虛率上考下求即以至元十八年辛巳歲前天正為元其見卓矣 以上歷元
△度法及赤道黃地道平經(jīng)緯度
后漢書志在天成度在歷成日歷數(shù)之生也乃立儀表以校日景景長則日遠天度之端也日發(fā)其端周而為歲然其景不復(fù)四周千四百
六十一日而景復(fù)初是則日行之終以周除日得三百六十五度四分度之一為歲之日數(shù)日日行一度亦為天度由是言之日周天為一歲周
日為一度因日行以命天度歲周凡三百六十五日四分日之一即天周得三百六十五度四分度之一也太初法歲余一千五百三十九分日
之三百八十五積四歲則一千五百四十分強于四分之一后漢劉洪作干象術(shù)謂四分于天疏闊由斗分太強始減斗分 【案太初冬至日
起牽牛其后漸覺在斗因歸余分于斗謂之斗分】 魏韓翊作黃初術(shù)又以干象減斗分太過復(fù)增其數(shù)自是以后小余之?dāng)?shù)雖各有增損然皆
不滿四分之一東晉虞喜始立歲差隋劉焯皇極術(shù)因分天自為天歲自為歲而天周歲周分矣歲周既弱于天周猶用小余畸零之?dāng)?shù)以命度
亦徒于算位乘除之開多所煩擾而實無能密合于日行也唐書云九執(zhí)歷者出于西域周天三百六十度無余分又言其名數(shù)詭異不著其詳
明大統(tǒng)歷與回回歷并設(shè)回回歷分周天為三百六十度大統(tǒng)則因授時之舊至崇禎時徐光啟改正歷法采用歐羅巴術(shù)命天周為三百六十
度度六十分分六十秒凡測赤道經(jīng)緯黃道經(jīng)緯地平經(jīng)緯度皆如之
（臣）等謹按古法以太陽一日所行命之為度而所謂四之一者訖無定率故累代斗分諸家互異至授時而有減歲余增天周之法則
日行與天度較然分矣況冬盈夏縮之異終歲之閑固未有數(shù)日平行者也故與其為畸零之度而初不能合于日行即不如以天為整度而用
為起數(shù)之宗固推步善法矣 【周天者數(shù)從所起而先有畸零故析之而為半周天為象限為十二宮為二十四象七十二候莫不先有畸零
而日行之盈縮不與焉故推步稍難今以周天為整數(shù)而但求盈縮是以整御零為法倍易】 且所謂度生于日者經(jīng)度耳而術(shù)家所難尤在緯
度今以三百六十命度則經(jīng)緯通為一法故黃赤雖有正斜而度分可以互求七曜之天雖有內(nèi)外大小而比例可以相較以其為三百六十者
同也半之則一百八十四分之則九十而八線之法緣之以生故以制測器則度數(shù)易分以測七曜則度分易得以算三角則理法易明亦取其
適于用而已矣 【三百六十立算實本回回至歐羅巴乃發(fā)明之耳】 況七曜之順逆諸行進退損益全在小輪為推步之要眇然而小輪之
與大輪比例懸殊若鎰與銖而累黍不失者以其度皆三百六十也以至太陰之會望轉(zhuǎn)交五星之歲輪無一不以三百六十為法而地球亦然
故以日躔紀度但可施于黃道之經(jīng)而整度之用該括萬殊斜側(cè)縱橫周通環(huán)應(yīng)可謂執(zhí)簡御棼法之最善者矣
（臣）等又按天為渾圓赤道黃地道平三者各有經(jīng)緯度赤道勻分三百六十度平分之為半周各一百八十度四分之為象限各九十
度六分之為紀限各六十度十二分之為宮為時各三十度是為赤經(jīng)從經(jīng)度出弧線與赤道十字相交各引長之會于南北極皆成全圜亦分
為三百六十度兩極相距各一百八十度兩極距赤道各九十度是為赤緯依緯度作圈與赤道平行名距等圈此圈大小不一距赤道近則大
距赤道遠則小其度亦三百六十與赤道之度相應(yīng)赤道之用有動有靜動者隨天左旋與黃道相交日躔之南北于是乎限靜者太虛之位亙
古不移晝夜之時刻于是乎紀此赤道之經(jīng)緯也黃道之宮度并如赤道其與赤道相交之兩點為春秋分相距皆半周平分兩交之中為冬夏
至距兩交各一象限六分象限為節(jié)氣各十五度是為黃經(jīng)從經(jīng)度出弧線與黃道十字相交各引長之周于天體即成全圜其各圜相湊之處
不在赤道之南北兩極而別有其樞心是為黃極黃極之距赤極即兩道相距之度其距黃道亦皆九十度是為黃緯而月與五星出入黃道之
南北者于是乎辨此黃道之經(jīng)緯也凡南北圈過赤道極者必與赤道成直角而不能與黃道成直角其過黃道極者亦必與黃道成直角而不
能與赤道成直角惟過黃赤兩極之圈其過黃赤道也必當(dāng)冬夏二至之度所以并成直角為極至交圈以赤道度為主而以黃道度準之則互
形大小者渾圓之體當(dāng)腰之度最寬所謂腰圍大圈也漸近兩端則漸狹所謂距等圈也二至?xí)r黃道以腰度當(dāng)赤道距等圈之度故黃道一度
當(dāng)赤道一度有余二分時兩道雖皆腰度然赤道平而黃道斜故黃道一度當(dāng)赤道一度不足也此所謂同升之差而七政升降之斜正伏見之
先后皆由是而推焉至于地平經(jīng)緯則以各人所居之天頂為極蓋人所居之地不同故天頂各異而經(jīng)緯從而變也地在天中體圓而小隨人
所立凡目力所極適得大圓之一半則地雖圓而與平體無異故謂之地平乃諸曜出沒之界晝夜晦明之交也地平亦分三百六十度四分之
為四方各相距九十度二十四分之為二十四向各十五度是為地平經(jīng)從經(jīng)度出弧線上會于天頂并皆九十度是為地平緯亦曰高弧高弧
從地平正午上會天頂者其全圜必過赤道南北兩極名為子午圈乃諸曜出入地平適中之界而北極之高下晷景之長短中星之推移皆由
是而測焉此地平之經(jīng)緯也 以上度法及赤道黃地道平經(jīng)緯度
△歲實
書云期三百有六旬有六日以閏月定四時成歲此歷家歲實之法所由昉也前代諸術(shù)所定不一周髀算經(jīng)以三百六十五日為經(jīng)歲余
四分日之一故四年而閏一日太初術(shù)閼逢攝提格太初元年大余五十四索隱曰一歲十二月六大六小合三百五十四日以六除之五六三
十余三百日余五十四日故下云大余者日也其歲余之?dāng)?shù)亦四分之一故下文命天度曰小余八蓋以三十二為度法三統(tǒng)四分皆因其數(shù)自
靈帝時會稽東部尉劉洪始減歲余后世因之代有損益其測驗之法率以前歲冬至距今歲冬至計其小余時刻并入大余以為歲實至于授
時術(shù)考驗尤詳郭守敬改法自言創(chuàng)造簡儀高表憑所測實數(shù)考正者七事一曰冬至二曰歲余其求冬至也自丙子年立冬后依每日測到晷
景逐日取對冬至前后日差同者為準得丁丑年冬至在戊戌日夜半后八刻半又定戊寅冬至在癸卯日夜半后三十三刻己卯冬至在戊申
日夜半后五十七刻庚辰冬至在癸丑日夜半后八十一刻辛巳冬至在己未日夜半后六刻其求歲余也自劉宋大明以來測景驗氣得冬至
時刻真數(shù)者有六用以相距各得其時合用歲余考驗四年相符不差仍自宋大明壬寅年距至今八百一十九年每歲合得三百六十五日二
十四刻二十五分減大明術(shù)一十一秒其二十五分為今歷合周之?dāng)?shù) 【按金趙知微重修大明歷小余二十四分三十六秒實多授時一十
一秒郭所減者趙術(shù)非祖沖之原數(shù)也】 其上考下求又有消長之法其法自至元十八年辛巳元順推至一百年則歲實當(dāng)消一分如逆推至
一百年則歲實當(dāng)長一分每相距增一百年則歲實各消長一分以是為上考下求之本洪武十七年元統(tǒng)作大統(tǒng)術(shù)諸數(shù)悉仍授時而去其歲
實消長之說以洪武十七年甲子為元監(jiān)副李德芳言統(tǒng)不用消長之法以考魯獻公十五年戊寅歲天正冬至比辛巳為元差四日半強今當(dāng)
復(fù)用辛巳為元及消長之法萬歷中鄭世子載堉進歷書議歲余曰陰陽消長之理以漸而積未有不從秒起授時考古于百年之際頓加一分
于理未安假如魯隱公三年辛酉歲下距至元辛巳二千年以授時本法算之于歲實當(dāng)加二十分得庚午日六刻為其年天正冬至至次年壬
戌歲下距至元辛巳一千九百九十九年本法當(dāng)加十九分得乙亥日五十刻四十四分為其年天正冬至兩冬至相減得相距三百六十五日
四十四刻四十四分則是歲余九分日之四非四分日之一也歷法之謬莫甚于此新法酌量設(shè)若每年增損二秒推而上之則失昭公己丑增
損一秒至一秒半則失僖公辛亥今約取中數(shù)以定距自相乘七因八歸所得百約之為分得一秒七十五忽則辛亥己丑皆得矣其后徐光啟
修歷法著學(xué)歷小辯曰歲實小余自漢迄元漸次消減今新法定用歲實更減于元不知者必謂不惟先天更先大統(tǒng)乃以推壬申冬至大統(tǒng)得
己亥寅正一刻而新法得辰初一刻十八分何也蓋正歲年與步月離相似冬至無定率與定朔定望無定率一也朔望無定率宜以平朔望加
減之冬至無定率宜以平年加減之故新法之平冬至雖在大統(tǒng)前而定冬至恒在大統(tǒng)后也
?。ǔ迹┑戎敯刺煨杏s無驟增驟減之理郭氏百年消長之法鄭世子謂其于理未安是也宋寍宗時楊忠輔造統(tǒng)天歷所定歲實與授
時同以斗分差乘距差為躔差暗藏加減之法約百年加減一分零六秒弱郭氏蓋本統(tǒng)天術(shù)而為之者然楊忠輔術(shù)逐年分算而郭術(shù)則以距
算總乘其數(shù)驟變較之楊術(shù)尤為不倫且消長分數(shù)必當(dāng)時測定之歲實數(shù)已真確知其無可加減而后可據(jù)以為消長之根若授時則所測歲
余尚非真數(shù)也一歲小余二十四刻二十五分積之四歲正得九十七刻丁丑年冬至既在戊戌日夜半后八刻半則辛巳年冬至宜在己未夜
半后五刻半不應(yīng)有六刻如以辛巳之六刻為確則丁丑年宜在九刻不應(yīng)祗八刻半此四年既皆實測所得則已多半刻矣而云相符不差何
也又考大明五年辛丑祖沖之所測景長冬至在乙酉日夜半三十二刻七分自大明壬寅 【辛丑年之十一月冬至實即壬寅歲前天正冬
至也】 下距至元辛巳八百一十九年以授時歲實積之凡二十九萬九千一百三十三日六十刻七十五分以辛巳天正冬至己未日子正后
六刻逆計之則當(dāng)時冬至在乙酉日子正后五十四刻較祖氏所記后天愈多矣既不能與當(dāng)時所測算者密合乃為百年長一之法以合之則
此年冬至又在甲申日七十九刻太不又失之先天乎而云自大明壬寅距今每歲合得此數(shù)何也徐光啟以定朔定望擬定冬至其論最確而
其消長所以然之故則引而未發(fā)蓋太陽因有高卑而生盈縮春分當(dāng)平行之處則所得歲實為恒率得其恒乃可以求其定猶月之有平朔平
望而后可求定朔定望也李天經(jīng)歷法條議曰以圭表測冬夏二至非法之善蓋二至前后太陽南北之行度甚微計一丈之表其一日之景差
不過一分三十秒則一秒得六刻有奇若測差二三秒即差幾二十刻安所得準乎今法獨用春秋二分蓋以此時太陽一日南北行二十四分
一日之景差一寸二分即測差一二秒不滿一刻較二至為最密西法以春分為歲首其歲余由累測春分得之既以每年春分測得歲實之平
率又隨其時之高沖及本輪均輸加減之即定數(shù)可得不必言消長矣蓋冬至近高沖則兩歲冬至之距必多于平率夏至近最高則兩歲夏至
之距必少于平率又古時太陽本輪均輪半徑之差大于今日則加減均數(shù)亦大而冬至歲實當(dāng)更增至元辛巳高沖約與冬至同度則歲實尤
大也 以上歲實
△日躔盈縮
唐書志日躔盈縮略例曰北齊張子信積候合蝕加時覺日行有入氣差然損益未得其正至劉焯立盈縮躔衰術(shù)與四象升降麟德術(shù)因
之凡陰陽往來皆馴積而變?nèi)漳现疗湫凶罴奔倍鴿u損至春分及中而后遲迨日北至其行最舒而漸益之以至秋分又及中而后益急急極
而寒若舒極而燠若及中而雨旸之氣交自然之?dāng)?shù)也元授時術(shù)冬至日行一度強出赤道二十四度弱自此日軌漸北積八十八日九十一分
當(dāng)春分前三日交在赤道實行九十一度三十一分而適平自后其盈日損復(fù)行九十三日七十一分當(dāng)夏至之日入赤道內(nèi)二十四度弱實行
九十一度三十一分日行一度弱向之盈分盡損而無余自此日軌漸南積九十三日七十一分當(dāng)秋分后三日交在赤道實行九十一度三十
一分而復(fù)平自后其縮日損行八十八日九十一分出赤道外二十四度弱實行九十一度三十一分復(fù)當(dāng)冬至向之縮分盡損而無余盈縮均
有損益初為益末為損自冬至以及春分春分以及夏至日躔自北陸轉(zhuǎn)而西西而南于盈為益益極而損損至無余而縮自夏至以及秋分秋
分以及冬至日躔自南陸轉(zhuǎn)而東東而北于縮為益益極而損損至于無余而復(fù)盈盈初縮末俱八十八日九十一分而行一象縮初盈末俱九
十三日七十一分而行一象盈縮極差皆二度四十分由實測晷景而得仍以算術(shù)推考與所測允合明大統(tǒng)術(shù)因之萬歷末西法論太陽盈縮
主本天高卑之法其說謂太陽在本天終古平行人由黃道測其行度遂生盈縮蓋黃道以地為心太陽本天不以地為心于是有兩心之差而
高卑判矣夏至前后在本天之高半故去黃道近而離地遠遠則見其本天之度小而人以黃道視之遲于平行矣是則行度之所以有縮也冬
至前后在本天之低半故云黃道遠而離地近近則見其本天之度大而人以黃道視之速于平行矣是則行度之所以有盈也又有本輪之法
謂太陽本天與地同心而本天之周別有本輪以居太陽其在本輪上半順動天西行去地遠為高故右移之度減于平行為減在本輪下半逆
動天而東去地近為卑故右移速于平行為加在本輪之左右去地不遠不近為高卑適中謂之中距其行與平行等此即不同心之法而小變
之蓋本輪全徑即兩心差也至盈縮起算古法定于二至西法則謂太陽本天距地極遠之點謂之最高距地極近之點謂之最卑亦曰高沖此
二點為盈縮之界每年行一分余
?。ǔ迹┑戎敯垂艢v太陽之行有各恒氣十五日奇之總率而無每日細數(shù)太陰之行但有每一日之總率而無一日內(nèi)分十二限之總率
有之皆自授時始皆以平立定三差得之其法以盈縮日數(shù)分為六段各以段日除其段之積度得數(shù)相減為一差一差又相減為二差則其數(shù)
齊同乃緣此以生定差及平差立差定差者盈縮初日最大之差也于是以平差立差減之則為每日之定差矣其分為六段者一年二十四定
氣分四象限各有六氣故也李天經(jīng)歷法條議云七曜加減分用平立定之差法尚不足蓋加減平行以求自行乃歷家要務(wù)第天實圓體與平
行異類舊所用三差法俱從句股平行定者于天體未合即盈縮損益之?dāng)?shù)未得其真今新法加減諸表乃以圓齊圓始可合天今考西法所用
以測天者有平三角弧三角諸法皆以劃圓八線為主而割圓八線之法正弦余弦半徑相對成反正二句股形于圓內(nèi)半徑正割與半徑余切
余割成大小二句股形于圓外且銳角分兩句股鈍角補成句股皆不能外句股之法第變而用角度則有八線即可得其正弧余弧視古之用
弧矢法求弧背者為精密矣若弧三角形正弧則以黃赤及地平經(jīng)緯為十比例斜弧則用邊角比例及垂弧總較三法然亦不外乎同式句股
形也
?。ǔ迹┑扔职次餍g(shù)以最高最卑二點為太陽盈縮起算之端二點每年自有行分其高卑于本天半徑者非兩心差之全數(shù)而止及其半
乃于本輪之周設(shè)一均輪以消息之四分兩心差之全數(shù)以其三為本輪半俓以其一為均輪半徑本輪在本天之周平行為經(jīng)度均輪心在本
輪之周自行為自變量本輪心微速于均輪心之行兩行之差即最高最卑之行分也太陽在均輪周其行則倍于均輪心蓋本輪有上下左右四
限均輪祗遠近二限故太陽行必倍之也最高卑與二至同度則本輪心均輪心與地心參直而無加減差最卑至最高之半周則平行在后實
行在前是為加差最高至最卑之半則平行在前實行在后是為減差由自變量以三角形求均數(shù)則得每日之盈縮差以之加減平行得太陽實
行矣 以上日躔盈縮
△日道交周
前漢天文志月有九行者黑道二出黃道北赤道二出黃道南 【按此赤道即月道之出于黃道南者故以南之方色名之唐宋志改名
朱道非天之赤道也】 白道二出黃道西青道二出黃道東立春春分月東從青道立秋秋分西從白道立冬冬至北從黑道立夏夏至南從赤
道唐志凡月合朔所交冬在陰歷夏在陽歷月行青道 【冬至夏至后青道半交在春分之宿當(dāng)黃道東立冬立夏后青道半交在立春之宿
當(dāng)黃道東南至所沖之宿亦如之】 冬在陽歷夏在陰歷月行白道 【冬至夏至后白道半交在秋分之宿當(dāng)黃道西立冬立夏后白道半交
在立秋之宿當(dāng)黃道西北至所沖之宿亦如之】 春在陽歷秋在陰歷月行朱道 【春分秋分后朱道半交在夏至之宿當(dāng)黃道南立春立秋
后朱道半交在立夏之宿當(dāng)黃道西南至所沖之宿亦如之】 春在陰歷秋在陽歷月行黑道 【春分秋分后黑道半交在冬至之宿當(dāng)黃道
北立春立秋后黑道半交在立冬之宿當(dāng)黃道東北至所沖之宿亦如之】 四序離為八節(jié)至陰陽之所交行與黃道會故月有九行各視月交
所入七十二候距交初中黃道日度 【案初交中交黃道之日度也】 每五度為限亦初數(shù)十二每限減一數(shù)終于四乃一度強依平更從四
起每限增一終于十二而至半交其去黃道六度又自十二每限減一數(shù)終于四亦一度強依平更從四起每限增一終于十二復(fù)與日軌相會
凡日以赤道內(nèi)為陰外為陽月以黃道內(nèi)為陰外為陽故月行宿度入春分交后行陰歷秋分交后行陽歷皆為同名若八春分交后行陽歷秋
分交后行陰歷皆為異名大衍術(shù)議曰推陰陽歷交在冬至夏至則月行青道白道所交則同而出入之行異故青道至春分之宿及其所沖皆
在黃道東白道至秋分之宿及其所沖皆在黃道西若陰陽歷交在立春立秋則月循朱道黑道所交則同而出入之行異故朱道至立夏之宿
及其所沖皆在黃道西南黑道至立冬之宿及其所沖皆在黃道東北若陰陽歷交在春分秋分之宿則月行朱道黑道所交則同而出入之行
異故朱道至夏至之宿及其所沖皆在黃道正南黑道至冬至之宿及其所沖皆在黃道正北若陰陽歷交在立夏立冬月行青道白道所交則
同而出入之行異故青道至立春之宿及其所沖皆在黃道東南白道至立秋之宿及其所沖皆在黃道西北其大紀皆兼二道而實分主八節(jié)
合于四正四維案陰陽歷中終之所交則月行正當(dāng)黃道去交七日其行九十一度齊于一象之率而得 八行之中八行與中道而九是謂九
道凡八行正于春秋其去黃道六度則交在冬夏正于冬夏其去黃道六度則交在春秋日出入赤道二十四度月出入黃道六度凡月交一終
退前所交一度及余八萬九千七百七十三分度之四萬二千五百三少半積二百二十一月及分七千七百五十三而交道周天矣因而半之
將九年而九道終以四象考之各據(jù)合朔所交入七十二候則其八道之行也以朔交為交初望交為交中若交初在冬至初候而入陰歷則行
青道又十三日七十六分日之四十六至交中得所沖之宿變?nèi)腙枤v亦行青道若交初入陽歷則白道也故考交初所入而周天之度可知若
望交在冬至初候則減十三日四十六分視大云初候陰陽歷而正其行也
?。ǔ迹┑戎敯礉h志始言月有九道八行至唐書言之特詳元史統(tǒng)名白道而無九道之名今術(shù)仍之蓋月道之交黃道亦猶黃道之交赤
道其初交中交如二分半交如二至每交一周則退一度半弱十八年有奇始退黃道一周其所謂陰陽歷者則以黃道之內(nèi)外別之月自南而
北入黃道內(nèi)為陰自北而南出黃道外為陽也漢志以四方之色別黃道之段目語殊簡略唐志與大衍歷議言各不同閱者或反轇轕今為析
之唐志云凡月合朔所交是據(jù)初交言之也 【今法謂之中交】 其云冬在陰歷夏在陽歷月行青道者謂初交在冬至之宿而行陰歷則前
半交自南而北行青道初交在夏至之宿行陽歷則前半交自北而南行青道蓋舉初交及前半交而中交及后半交可知也余仿此大衍議推
陰陽歷交在冬至夏至則月行青道白道所交則同而出入之道異是統(tǒng)交終言之如合朔在冬至之宿而行陰歷則初交自南而北東入青道
中交變?yōu)殛枤v自北而南一周皆青道合朔在夏至之宿而行陽歷則初交自北而南東出青道中交變?yōu)殛帤v自南而北一周皆青道此即天
文志所云冬在陰歷夏在陽歷月行青道也但冬入而夏出為異耳又如合朔在冬至之宿而行陽歷則初交自北而南西出白道中交變?yōu)殛?
歷自南而北一周皆白道合朔在夏至之宿而行陰歷則初交自南而北西入白道中交變?yōu)殛枤v自北而南一周皆白道此即天文志所云冬
在陽歷夏在陰歷月行白道也但冬出夏入為異耳余仿此 以上白道交周
△月離遲疾
元史志古法謂月平行十三度十九分度之七漢耿壽昌以為日月行至牽牛東井日過度月行十五度至婁角始平行赤道使然賈逵以
為今合朔弦望月食加時所以不中者蓋不知月行遲疾李梵蘇統(tǒng)皆以月行當(dāng)有遲疾不必在牽牛東井婁角之閑乃因行道有遠近出入所
生劉洪作干象術(shù)精思二十余年始悟其理列為差率以囿進退損益之?dāng)?shù)后之作術(shù)者咸因之至唐一行考九道委蛇曲折之?dāng)?shù)得月行疾徐
之理先儒謂月與五星皆近日而疾遠日而遲數(shù)家立法以入轉(zhuǎn)一周之日為遲疾二術(shù)各立初末二限初為益末為損在疾初遲末其行率過
于平行遲初疾末率不及于平行自入轉(zhuǎn)初日行十四度半強從是漸殺積七日適及平行度謂之疾初限其積度比平行余五度四十二分自
是其疾日損又積七日行十二度微強向之益者盡損而無余謂之疾末限自是復(fù)行遲度又積七日適及平行度謂之遲初限其積度比平行
不及五度四十二分自此其遲日損行度漸增又厯七日復(fù)行十四度半強向之益者亦損而無余謂之遲末限入轉(zhuǎn)一周實二十七日五十五
刻四十六分遲疾極差皆五度四十二分舊法日為一限皆用二十八限今定驗得轉(zhuǎn)分進退時各不同今分日為十二共三百三十六限半之
為半周限析而四之為象限明崇禎中李天經(jīng)進歷法條議其論太陰曰朔望之外別有損益分一加減不足以盡之蓋舊定太陰平行算朔望
加減大率五度有奇然兩弦時多寡不一即授時亦言朔望平行數(shù)不定明其理未著其法今于加減外再用一加減名為二三均數(shù)其法備載
新法歷書太陰本天之周設(shè)為本輪均輪次輪次均輪凡四而太陰實體則居次均輪之周步朔望則用本輪均輪步兩弦則用次輪步兩弦前
后則用次均輪其本輪心平行度與均輪心所生遲疾之差為初均數(shù)初均數(shù)者所以求初實行也二均數(shù)者次輪所生則次均輪心距次輪最
近點當(dāng)?shù)匦闹且踩鶖?shù)者次均輪所生太陰所實在之處與二均數(shù)相加減為二三均數(shù)又以之加減初實行為白道實行者也又其言各
朔后月夕西見遲疾不一甚有差至三日者其故有三一因月視行度視行為疾段則疾見遲段則遲見一因黃道升降或斜或正正必疾見斜
必遲見一因白道在緯南緯北凡在緯北疾見緯南遲見也
（臣）等謹按太陰之輪有四而本輪乃遲疾四限之所由生其余皆所以消息遲疾之?dāng)?shù)故本輪為步月離之主其初末四限亦猶太陽
之有盈縮四限也西人初測止用本輪以步朔望次輪以步兩弦第谷以其法不能密合太陰之行故于本輪上加一均輪又因兩弦前后之行
不同于兩弦故又于次輪外加一次均輪蓋朔望時太陰在次輪之最近點又在次均輪之最下點而次均輪心又必常在次輪周自地心視之
俱在實行線上經(jīng)度無異故求朔望之初均數(shù)止用均輪不用次輪也兩弦時太陰在次輪之最遠點又在次均輪之上點而次均輪心亦必在
次輪之最遠點故兩弦時止用次輪不用次均輪也至朔望前后及兩弦前后太陰在次輪遠近二點之閑又在次均輪上下二點之閑而次均
輪心亦不在次輪之遠近二點故有次輪與次均輪之相差而或加或減也本輪者所以推本天之高卑而均輪則以消息本輪之行度次輪者
所以定朔望兩弦之遠近而次均輪又以分別朔望兩弦前后之加減故本輪行度合初均輪之倍引而生初均數(shù)分高卑左右而為朔望之加
減差也次輪行度合次均輪之倍離而生二三均數(shù)分遠近上下而為兩弦及兩弦前后之加減差也初均數(shù)之加減差即授時之遲疾差自最
高至最卑六宮為遲歷為減差自最卑至最高六宮為疾歷為加差最高前三宮與后三宮相當(dāng)最卑前三宮與后三宮相當(dāng)其差數(shù)皆相等但
加減異耳求初實行法皆以平行減月孛平行 【月孛即本輪最高點也】 得自變量用直角三角形以本輪半徑之半為對直角之邊以自變量
為一角求得對角之邊三因之 【均輪半徑為本輪半徑之半合本輪均輪半徑則為均輸半徑者三故小邊無問大小皆三因之三之一為
對角之邊三之二即均輪上倍自變量之通弦均輪右旋必倍自變量其理與太陽同】 又求得對余角之邊與半徑相加減復(fù)用直角三角形求得
對小邊之角為初均數(shù)并求得對直角之邊為次輪最近點距地心線為求次均之用以初均數(shù)加減用時太陰平行即初實行也其朔望以外
之加減差為二均三均二均數(shù)之生于次輪全徑與三均數(shù)之生于次均輪之半徑亦猶初均數(shù)之生于本輪及均輪半徑也既得二均三均之
數(shù)復(fù)用三均數(shù)以加減乎二均數(shù)是為二三均數(shù)故求白道實行法以初實行減本日太陽實行得次引用斜弧三角形兩邊夾一角法求得對
通弦之角為二均數(shù)而定其加減號以初均數(shù)與均輪心距最卑之度相加為加減泛限視足九十度與否定加減限并求對角之邊為次均輪
心距地心線又以此線及次引用兩邊夾一角法求得三均數(shù)亦定其加減號 【次引倍度不及半周者月在輪左故加過半周者月在輪右
故減】 乃以二均數(shù)與三均數(shù)相加減為二三均數(shù) 【兩均數(shù)同號則相加異號則相減】 以加減初實行為白道實行 以上月離遲疾
△實朔望
傅仁均戊寅元術(shù)月有三大三小劉孝孫使算學(xué)博士王孝通以甲辰術(shù)法詰仁均曰平朔定朔舊有二家三大三小為定朔望一大一小
為平朔望日月行有遲速相及謂之合會晦朔無定由時消息若定大小皆在朔者合會雖定而蔀元紀首三端并失若上合履端之始下得歸
余于終合會有時則甲辰元術(shù)為通術(shù)矣仁均對曰書云季秋月朔辰弗集于房孔氏云集合也不合則日蝕可知又云先時者殺無赦不及時
者殺無赦既有先后之差是知定朔矣詩云十月之交朔日辛卯又春秋傳曰不書朔官失之也自后術(shù)差莫能詳正故秦漢以來多非朔食宋
御史中丞何承天微欲見意不能詳究乃為散騎侍郎皮延宗等所抑孝通之語乃延宗舊說治數(shù)之本必推上元日月如合璧五星如連珠夜
半甲子朔旦冬至自此七曜散行不復(fù)余分普盡總會如初惟朔分氣分有可盡之理因其可盡即有三端此乃紀其日數(shù)之元爾或以為即夜
半甲子朔冬至者非也冬至自有常數(shù)朔名由于月起月行遲疾匪常三端安得即合故必須日月相合與至同日者乃為合朔冬至耳大衍術(shù)
合朔議曰虞■〈廣刂〉曰所謂朔在會合茍躔次既同何患于頻大也日月相離何患頻小也春秋日蝕不書朔者八公羊曰二日也谷梁曰
晦也左氏曰官失之也劉孝孫推俱得朔日以邱明為是乃與劉焯皆議定朔為有司所抑不得行傅仁均始為定朔而曰晦不東見朔不西朓
?。ǔ迹┑戎敯慈彰咳掌叫幸欢仍旅咳掌叫惺仁欧侄戎吆纤窌r日月同度積弦策七日有奇而月度超前離日一象限是為
上弦又積弦策而月度離日半周天與日對度是為望自此以后月向日行又積弦策而距日一象限是為下弦更積弦策而月追日及之又復(fù)
周度而為合朔矣凡此者皆有常度有常期故謂之經(jīng)朔經(jīng)望經(jīng)弦也乃若定朔定望定弦則有時而后于常期故有加差焉有時而先于常期
故有減差焉凡加差之因有二一因于日度之盈夫日行既越于常度則月不能及一因于月度之遲夫月行既遲于常度則不能及日二者皆
必于常期之外更增時刻而后能及于朔望弦之度故時刻加也減差之因亦有二一因于日度之縮夫日行既緩于常度則月易及之一因于
月度之速夫月行既速于常度則易及于日二者皆不待常期之至而已及于朔望弦之度故時刻減也乃若以日之盈遇月之遲二者皆宜有
加差以日之縮遇月之疾二者皆宜有減差故盈與遲縮與疾并為同名而其度宜并若以日之盈遇月之疾在日宜加在月則宜減以日之縮
遇月之遲在日宜減在月宜加故盈與疾縮與遲并為異名而其度宜相減用其多者主也如上所論既以盈縮遲疾二差同名相從異名相消
則加減差之大數(shù)已定然而又有乘除者上所言者度也非時刻也故必以此所得之度分用每限之時刻乘之為實每限之月行度為法除之
即變?yōu)闀r刻而命為加減差矣 以上實朔望
欽定續(xù)通志卷九十九
日月五步規(guī)法上
○日月五步規(guī)法上
歷元
度法及赤道黃地道平經(jīng)緯度
歲實
日躔盈縮
日道交周
月離遲疾
實朔望
△歷元
后漢志日周于天一寒一暑四時備成萬物畢改攝提遷次青龍移辰謂之歲歲首至也月首朔也至朔同日謂之章同在日首謂之蔀蔀
終六旬謂之紀歲朔又復(fù)謂之元是故日以實之月以閏之時以分之歲以周之章以明之蔀以部之紀以記之元以原之然后雖有變化萬殊
贏朒無方莫不結(jié)系于此而稟正焉漢太初歷以前厯上元泰初四千六百一十七歲至于元封七年復(fù)得閼逢攝提格之歲中冬十一月甲子
朔旦冬至日月在建星太歲在子已得太初本星度新正其法十九年為一章二十七章為一會三會為一統(tǒng)三統(tǒng)為一元得四千六百十七歲
劉歆三統(tǒng)歷因之所謂九會而復(fù)元者是也熹平四年五官郎中馮光沛相上計掾陳晃言歷元不正蔡邕議以為三光之行遲速進退不必若
一術(shù)家以算追而求之取合于當(dāng)時而已故有古今之術(shù)今之不能上通于古亦猶古術(shù)之不能下通于今也元命苞干鑿度皆以為開辟至獲
麟二百七十六萬歲即命歷序積獲麟至漢起庚子蔀之二十三歲竟己酉戊子及丁卯蔀六十九歲合為二百七十五歲漢元年歲在乙未上
至獲麟則歲在庚申推此以上上極開辟則不在庚申讖雖無文其數(shù)見存而光晃以為開辟至獲麟二百七十五萬九千八百八十六歲獲麟
至漢百六十二歲轉(zhuǎn)差少一百一十四歲云其議備載后漢書志自太初以后雖諸術(shù)所用積年不同而立元之率莫之有改唐建中時術(shù)者曹
士蒍始變古法以顯慶五年為上元雨水為歲首號符天術(shù)行于民閑謂之小歷又五代石晉高祖時司天監(jiān)馬重績造調(diào)元術(shù)以唐天寶十四
載乙未為上元雨水為氣首元郭守敬造授時歷始用其術(shù)以至元辛巳為元明大統(tǒng)歷因之后徐光啟李天經(jīng)采用西術(shù)亦以崇禎戊辰為元
?。ǔ迹┑戎敯雌哒胁灰黄渎使蕷v家遠取上古積年之元以齊之虞恭宗欣所謂建歷之本必先立元元正然后定日法法立然后
度周天以定分至是也授時不用積年舊術(shù)而加氣閏轉(zhuǎn)交四應(yīng)以紀當(dāng)時實測之?dāng)?shù)而為上考下求起算之率則七政之行皆可齊矣氣應(yīng)以
紀冬至閏應(yīng)以紀經(jīng)朔轉(zhuǎn)應(yīng)以紀月行遲疾交應(yīng)以紀月之陰陽厯皆截算法也近梅文鼎所論授時歷元尤為明晰今備載之其詞曰造法者
必有起算之端是謂歷元歷元之法有二其一遠溯古初冬至以七曜齊元之日為元自漢太初至金重修大明術(shù)各家所用之積年是也其一
為截算之元自元授時不用積年日法直以至元辛巳為元而今西法亦以崇禎戊辰為元是也二者不同然以是為起算之端一而已矣然則
二者無優(yōu)劣乎曰授時優(yōu)夫所謂七曜齊元者謂上古之時歲月日時皆會甲子而又日月如合璧五星如連珠故取以為造法之根數(shù)也使其
果然雖萬世遵用可矣乃今廿一史中所載諸家歷元無一同者是其積年之久近皆非有所受之于前直以巧算取之而已然謂其一無所據(jù)
而出于胸臆則又非也當(dāng)其立法之初亦皆有所驗于近事然后本其時之所實測以旁證于書傳之所傳約其合者既有數(shù)端遂援之以立術(shù)
于是溯而上之至于數(shù)千萬年之遠庶幾各率可以齊同積年之法所由立也然既欲其上合歷元又欲其不違近測畸零分秒之?dāng)?shù)必不能齊
勢不能不稍為整頓以求巧合其始也據(jù)近測以求積年其既也且將因積年而改近測矣又安得以為定法乎授時術(shù)知其然故一以實測為
憑而不用積年虛率上考下求即以至元十八年辛巳歲前天正為元其見卓矣 以上歷元
△度法及赤道黃地道平經(jīng)緯度
后漢書志在天成度在歷成日歷數(shù)之生也乃立儀表以校日景景長則日遠天度之端也日發(fā)其端周而為歲然其景不復(fù)四周千四百
六十一日而景復(fù)初是則日行之終以周除日得三百六十五度四分度之一為歲之日數(shù)日日行一度亦為天度由是言之日周天為一歲周
日為一度因日行以命天度歲周凡三百六十五日四分日之一即天周得三百六十五度四分度之一也太初法歲余一千五百三十九分日
之三百八十五積四歲則一千五百四十分強于四分之一后漢劉洪作干象術(shù)謂四分于天疏闊由斗分太強始減斗分 【案太初冬至日
起牽牛其后漸覺在斗因歸余分于斗謂之斗分】 魏韓翊作黃初術(shù)又以干象減斗分太過復(fù)增其數(shù)自是以后小余之?dāng)?shù)雖各有增損然皆
不滿四分之一東晉虞喜始立歲差隋劉焯皇極術(shù)因分天自為天歲自為歲而天周歲周分矣歲周既弱于天周猶用小余畸零之?dāng)?shù)以命度
亦徒于算位乘除之開多所煩擾而實無能密合于日行也唐書云九執(zhí)歷者出于西域周天三百六十度無余分又言其名數(shù)詭異不著其詳
明大統(tǒng)歷與回回歷并設(shè)回回歷分周天為三百六十度大統(tǒng)則因授時之舊至崇禎時徐光啟改正歷法采用歐羅巴術(shù)命天周為三百六十
度度六十分分六十秒凡測赤道經(jīng)緯黃道經(jīng)緯地平經(jīng)緯度皆如之
（臣）等謹按古法以太陽一日所行命之為度而所謂四之一者訖無定率故累代斗分諸家互異至授時而有減歲余增天周之法則
日行與天度較然分矣況冬盈夏縮之異終歲之閑固未有數(shù)日平行者也故與其為畸零之度而初不能合于日行即不如以天為整度而用
為起數(shù)之宗固推步善法矣 【周天者數(shù)從所起而先有畸零故析之而為半周天為象限為十二宮為二十四象七十二候莫不先有畸零
而日行之盈縮不與焉故推步稍難今以周天為整數(shù)而但求盈縮是以整御零為法倍易】 且所謂度生于日者經(jīng)度耳而術(shù)家所難尤在緯
度今以三百六十命度則經(jīng)緯通為一法故黃赤雖有正斜而度分可以互求七曜之天雖有內(nèi)外大小而比例可以相較以其為三百六十者
同也半之則一百八十四分之則九十而八線之法緣之以生故以制測器則度數(shù)易分以測七曜則度分易得以算三角則理法易明亦取其
適于用而已矣 【三百六十立算實本回回至歐羅巴乃發(fā)明之耳】 況七曜之順逆諸行進退損益全在小輪為推步之要眇然而小輪之
與大輪比例懸殊若鎰與銖而累黍不失者以其度皆三百六十也以至太陰之會望轉(zhuǎn)交五星之歲輪無一不以三百六十為法而地球亦然
故以日躔紀度但可施于黃道之經(jīng)而整度之用該括萬殊斜側(cè)縱橫周通環(huán)應(yīng)可謂執(zhí)簡御棼法之最善者矣
（臣）等又按天為渾圓赤道黃地道平三者各有經(jīng)緯度赤道勻分三百六十度平分之為半周各一百八十度四分之為象限各九十
度六分之為紀限各六十度十二分之為宮為時各三十度是為赤經(jīng)從經(jīng)度出弧線與赤道十字相交各引長之會于南北極皆成全圜亦分
為三百六十度兩極相距各一百八十度兩極距赤道各九十度是為赤緯依緯度作圈與赤道平行名距等圈此圈大小不一距赤道近則大
距赤道遠則小其度亦三百六十與赤道之度相應(yīng)赤道之用有動有靜動者隨天左旋與黃道相交日躔之南北于是乎限靜者太虛之位亙
古不移晝夜之時刻于是乎紀此赤道之經(jīng)緯也黃道之宮度并如赤道其與赤道相交之兩點為春秋分相距皆半周平分兩交之中為冬夏
至距兩交各一象限六分象限為節(jié)氣各十五度是為黃經(jīng)從經(jīng)度出弧線與黃道十字相交各引長之周于天體即成全圜其各圜相湊之處
不在赤道之南北兩極而別有其樞心是為黃極黃極之距赤極即兩道相距之度其距黃道亦皆九十度是為黃緯而月與五星出入黃道之
南北者于是乎辨此黃道之經(jīng)緯也凡南北圈過赤道極者必與赤道成直角而不能與黃道成直角其過黃道極者亦必與黃道成直角而不
能與赤道成直角惟過黃赤兩極之圈其過黃赤道也必當(dāng)冬夏二至之度所以并成直角為極至交圈以赤道度為主而以黃道度準之則互
形大小者渾圓之體當(dāng)腰之度最寬所謂腰圍大圈也漸近兩端則漸狹所謂距等圈也二至?xí)r黃道以腰度當(dāng)赤道距等圈之度故黃道一度
當(dāng)赤道一度有余二分時兩道雖皆腰度然赤道平而黃道斜故黃道一度當(dāng)赤道一度不足也此所謂同升之差而七政升降之斜正伏見之
先后皆由是而推焉至于地平經(jīng)緯則以各人所居之天頂為極蓋人所居之地不同故天頂各異而經(jīng)緯從而變也地在天中體圓而小隨人
所立凡目力所極適得大圓之一半則地雖圓而與平體無異故謂之地平乃諸曜出沒之界晝夜晦明之交也地平亦分三百六十度四分之
為四方各相距九十度二十四分之為二十四向各十五度是為地平經(jīng)從經(jīng)度出弧線上會于天頂并皆九十度是為地平緯亦曰高弧高弧
從地平正午上會天頂者其全圜必過赤道南北兩極名為子午圈乃諸曜出入地平適中之界而北極之高下晷景之長短中星之推移皆由
是而測焉此地平之經(jīng)緯也 以上度法及赤道黃地道平經(jīng)緯度
△歲實
書云期三百有六旬有六日以閏月定四時成歲此歷家歲實之法所由昉也前代諸術(shù)所定不一周髀算經(jīng)以三百六十五日為經(jīng)歲余
四分日之一故四年而閏一日太初術(shù)閼逢攝提格太初元年大余五十四索隱曰一歲十二月六大六小合三百五十四日以六除之五六三
十余三百日余五十四日故下云大余者日也其歲余之?dāng)?shù)亦四分之一故下文命天度曰小余八蓋以三十二為度法三統(tǒng)四分皆因其數(shù)自
靈帝時會稽東部尉劉洪始減歲余后世因之代有損益其測驗之法率以前歲冬至距今歲冬至計其小余時刻并入大余以為歲實至于授
時術(shù)考驗尤詳郭守敬改法自言創(chuàng)造簡儀高表憑所測實數(shù)考正者七事一曰冬至二曰歲余其求冬至也自丙子年立冬后依每日測到晷
景逐日取對冬至前后日差同者為準得丁丑年冬至在戊戌日夜半后八刻半又定戊寅冬至在癸卯日夜半后三十三刻己卯冬至在戊申
日夜半后五十七刻庚辰冬至在癸丑日夜半后八十一刻辛巳冬至在己未日夜半后六刻其求歲余也自劉宋大明以來測景驗氣得冬至
時刻真數(shù)者有六用以相距各得其時合用歲余考驗四年相符不差仍自宋大明壬寅年距至今八百一十九年每歲合得三百六十五日二
十四刻二十五分減大明術(shù)一十一秒其二十五分為今歷合周之?dāng)?shù) 【按金趙知微重修大明歷小余二十四分三十六秒實多授時一十
一秒郭所減者趙術(shù)非祖沖之原數(shù)也】 其上考下求又有消長之法其法自至元十八年辛巳元順推至一百年則歲實當(dāng)消一分如逆推至
一百年則歲實當(dāng)長一分每相距增一百年則歲實各消長一分以是為上考下求之本洪武十七年元統(tǒng)作大統(tǒng)術(shù)諸數(shù)悉仍授時而去其歲
實消長之說以洪武十七年甲子為元監(jiān)副李德芳言統(tǒng)不用消長之法以考魯獻公十五年戊寅歲天正冬至比辛巳為元差四日半強今當(dāng)
復(fù)用辛巳為元及消長之法萬歷中鄭世子載堉進歷書議歲余曰陰陽消長之理以漸而積未有不從秒起授時考古于百年之際頓加一分
于理未安假如魯隱公三年辛酉歲下距至元辛巳二千年以授時本法算之于歲實當(dāng)加二十分得庚午日六刻為其年天正冬至至次年壬
戌歲下距至元辛巳一千九百九十九年本法當(dāng)加十九分得乙亥日五十刻四十四分為其年天正冬至兩冬至相減得相距三百六十五日
四十四刻四十四分則是歲余九分日之四非四分日之一也歷法之謬莫甚于此新法酌量設(shè)若每年增損二秒推而上之則失昭公己丑增
損一秒至一秒半則失僖公辛亥今約取中數(shù)以定距自相乘七因八歸所得百約之為分得一秒七十五忽則辛亥己丑皆得矣其后徐光啟
修歷法著學(xué)歷小辯曰歲實小余自漢迄元漸次消減今新法定用歲實更減于元不知者必謂不惟先天更先大統(tǒng)乃以推壬申冬至大統(tǒng)得
己亥寅正一刻而新法得辰初一刻十八分何也蓋正歲年與步月離相似冬至無定率與定朔定望無定率一也朔望無定率宜以平朔望加
減之冬至無定率宜以平年加減之故新法之平冬至雖在大統(tǒng)前而定冬至恒在大統(tǒng)后也
?。ǔ迹┑戎敯刺煨杏s無驟增驟減之理郭氏百年消長之法鄭世子謂其于理未安是也宋寍宗時楊忠輔造統(tǒng)天歷所定歲實與授
時同以斗分差乘距差為躔差暗藏加減之法約百年加減一分零六秒弱郭氏蓋本統(tǒng)天術(shù)而為之者然楊忠輔術(shù)逐年分算而郭術(shù)則以距
算總乘其數(shù)驟變較之楊術(shù)尤為不倫且消長分數(shù)必當(dāng)時測定之歲實數(shù)已真確知其無可加減而后可據(jù)以為消長之根若授時則所測歲
余尚非真數(shù)也一歲小余二十四刻二十五分積之四歲正得九十七刻丁丑年冬至既在戊戌日夜半后八刻半則辛巳年冬至宜在己未夜
半后五刻半不應(yīng)有六刻如以辛巳之六刻為確則丁丑年宜在九刻不應(yīng)祗八刻半此四年既皆實測所得則已多半刻矣而云相符不差何
也又考大明五年辛丑祖沖之所測景長冬至在乙酉日夜半三十二刻七分自大明壬寅 【辛丑年之十一月冬至實即壬寅歲前天正冬
至也】 下距至元辛巳八百一十九年以授時歲實積之凡二十九萬九千一百三十三日六十刻七十五分以辛巳天正冬至己未日子正后
六刻逆計之則當(dāng)時冬至在乙酉日子正后五十四刻較祖氏所記后天愈多矣既不能與當(dāng)時所測算者密合乃為百年長一之法以合之則
此年冬至又在甲申日七十九刻太不又失之先天乎而云自大明壬寅距今每歲合得此數(shù)何也徐光啟以定朔定望擬定冬至其論最確而
其消長所以然之故則引而未發(fā)蓋太陽因有高卑而生盈縮春分當(dāng)平行之處則所得歲實為恒率得其恒乃可以求其定猶月之有平朔平
望而后可求定朔定望也李天經(jīng)歷法條議曰以圭表測冬夏二至非法之善蓋二至前后太陽南北之行度甚微計一丈之表其一日之景差
不過一分三十秒則一秒得六刻有奇若測差二三秒即差幾二十刻安所得準乎今法獨用春秋二分蓋以此時太陽一日南北行二十四分
一日之景差一寸二分即測差一二秒不滿一刻較二至為最密西法以春分為歲首其歲余由累測春分得之既以每年春分測得歲實之平
率又隨其時之高沖及本輪均輸加減之即定數(shù)可得不必言消長矣蓋冬至近高沖則兩歲冬至之距必多于平率夏至近最高則兩歲夏至
之距必少于平率又古時太陽本輪均輪半徑之差大于今日則加減均數(shù)亦大而冬至歲實當(dāng)更增至元辛巳高沖約與冬至同度則歲實尤
大也 以上歲實
△日躔盈縮
唐書志日躔盈縮略例曰北齊張子信積候合蝕加時覺日行有入氣差然損益未得其正至劉焯立盈縮躔衰術(shù)與四象升降麟德術(shù)因
之凡陰陽往來皆馴積而變?nèi)漳现疗湫凶罴奔倍鴿u損至春分及中而后遲迨日北至其行最舒而漸益之以至秋分又及中而后益急急極
而寒若舒極而燠若及中而雨旸之氣交自然之?dāng)?shù)也元授時術(shù)冬至日行一度強出赤道二十四度弱自此日軌漸北積八十八日九十一分
當(dāng)春分前三日交在赤道實行九十一度三十一分而適平自后其盈日損復(fù)行九十三日七十一分當(dāng)夏至之日入赤道內(nèi)二十四度弱實行
九十一度三十一分日行一度弱向之盈分盡損而無余自此日軌漸南積九十三日七十一分當(dāng)秋分后三日交在赤道實行九十一度三十
一分而復(fù)平自后其縮日損行八十八日九十一分出赤道外二十四度弱實行九十一度三十一分復(fù)當(dāng)冬至向之縮分盡損而無余盈縮均
有損益初為益末為損自冬至以及春分春分以及夏至日躔自北陸轉(zhuǎn)而西西而南于盈為益益極而損損至無余而縮自夏至以及秋分秋
分以及冬至日躔自南陸轉(zhuǎn)而東東而北于縮為益益極而損損至于無余而復(fù)盈盈初縮末俱八十八日九十一分而行一象縮初盈末俱九
十三日七十一分而行一象盈縮極差皆二度四十分由實測晷景而得仍以算術(shù)推考與所測允合明大統(tǒng)術(shù)因之萬歷末西法論太陽盈縮
主本天高卑之法其說謂太陽在本天終古平行人由黃道測其行度遂生盈縮蓋黃道以地為心太陽本天不以地為心于是有兩心之差而
高卑判矣夏至前后在本天之高半故去黃道近而離地遠遠則見其本天之度小而人以黃道視之遲于平行矣是則行度之所以有縮也冬
至前后在本天之低半故云黃道遠而離地近近則見其本天之度大而人以黃道視之速于平行矣是則行度之所以有盈也又有本輪之法
謂太陽本天與地同心而本天之周別有本輪以居太陽其在本輪上半順動天西行去地遠為高故右移之度減于平行為減在本輪下半逆
動天而東去地近為卑故右移速于平行為加在本輪之左右去地不遠不近為高卑適中謂之中距其行與平行等此即不同心之法而小變
之蓋本輪全徑即兩心差也至盈縮起算古法定于二至西法則謂太陽本天距地極遠之點謂之最高距地極近之點謂之最卑亦曰高沖此
二點為盈縮之界每年行一分余
?。ǔ迹┑戎敯垂艢v太陽之行有各恒氣十五日奇之總率而無每日細數(shù)太陰之行但有每一日之總率而無一日內(nèi)分十二限之總率
有之皆自授時始皆以平立定三差得之其法以盈縮日數(shù)分為六段各以段日除其段之積度得數(shù)相減為一差一差又相減為二差則其數(shù)
齊同乃緣此以生定差及平差立差定差者盈縮初日最大之差也于是以平差立差減之則為每日之定差矣其分為六段者一年二十四定
氣分四象限各有六氣故也李天經(jīng)歷法條議云七曜加減分用平立定之差法尚不足蓋加減平行以求自行乃歷家要務(wù)第天實圓體與平
行異類舊所用三差法俱從句股平行定者于天體未合即盈縮損益之?dāng)?shù)未得其真今新法加減諸表乃以圓齊圓始可合天今考西法所用
以測天者有平三角弧三角諸法皆以劃圓八線為主而割圓八線之法正弦余弦半徑相對成反正二句股形于圓內(nèi)半徑正割與半徑余切
余割成大小二句股形于圓外且銳角分兩句股鈍角補成句股皆不能外句股之法第變而用角度則有八線即可得其正弧余弧視古之用
弧矢法求弧背者為精密矣若弧三角形正弧則以黃赤及地平經(jīng)緯為十比例斜弧則用邊角比例及垂弧總較三法然亦不外乎同式句股
形也
?。ǔ迹┑扔职次餍g(shù)以最高最卑二點為太陽盈縮起算之端二點每年自有行分其高卑于本天半徑者非兩心差之全數(shù)而止及其半
乃于本輪之周設(shè)一均輪以消息之四分兩心差之全數(shù)以其三為本輪半俓以其一為均輪半徑本輪在本天之周平行為經(jīng)度均輪心在本
輪之周自行為自變量本輪心微速于均輪心之行兩行之差即最高最卑之行分也太陽在均輪周其行則倍于均輪心蓋本輪有上下左右四
限均輪祗遠近二限故太陽行必倍之也最高卑與二至同度則本輪心均輪心與地心參直而無加減差最卑至最高之半周則平行在后實
行在前是為加差最高至最卑之半則平行在前實行在后是為減差由自變量以三角形求均數(shù)則得每日之盈縮差以之加減平行得太陽實
行矣 以上日躔盈縮
△日道交周
前漢天文志月有九行者黑道二出黃道北赤道二出黃道南 【按此赤道即月道之出于黃道南者故以南之方色名之唐宋志改名
朱道非天之赤道也】 白道二出黃道西青道二出黃道東立春春分月東從青道立秋秋分西從白道立冬冬至北從黑道立夏夏至南從赤
道唐志凡月合朔所交冬在陰歷夏在陽歷月行青道 【冬至夏至后青道半交在春分之宿當(dāng)黃道東立冬立夏后青道半交在立春之宿
當(dāng)黃道東南至所沖之宿亦如之】 冬在陽歷夏在陰歷月行白道 【冬至夏至后白道半交在秋分之宿當(dāng)黃道西立冬立夏后白道半交
在立秋之宿當(dāng)黃道西北至所沖之宿亦如之】 春在陽歷秋在陰歷月行朱道 【春分秋分后朱道半交在夏至之宿當(dāng)黃道南立春立秋
后朱道半交在立夏之宿當(dāng)黃道西南至所沖之宿亦如之】 春在陰歷秋在陽歷月行黑道 【春分秋分后黑道半交在冬至之宿當(dāng)黃道
北立春立秋后黑道半交在立冬之宿當(dāng)黃道東北至所沖之宿亦如之】 四序離為八節(jié)至陰陽之所交行與黃道會故月有九行各視月交
所入七十二候距交初中黃道日度 【案初交中交黃道之日度也】 每五度為限亦初數(shù)十二每限減一數(shù)終于四乃一度強依平更從四
起每限增一終于十二而至半交其去黃道六度又自十二每限減一數(shù)終于四亦一度強依平更從四起每限增一終于十二復(fù)與日軌相會
凡日以赤道內(nèi)為陰外為陽月以黃道內(nèi)為陰外為陽故月行宿度入春分交后行陰歷秋分交后行陽歷皆為同名若八春分交后行陽歷秋
分交后行陰歷皆為異名大衍術(shù)議曰推陰陽歷交在冬至夏至則月行青道白道所交則同而出入之行異故青道至春分之宿及其所沖皆
在黃道東白道至秋分之宿及其所沖皆在黃道西若陰陽歷交在立春立秋則月循朱道黑道所交則同而出入之行異故朱道至立夏之宿
及其所沖皆在黃道西南黑道至立冬之宿及其所沖皆在黃道東北若陰陽歷交在春分秋分之宿則月行朱道黑道所交則同而出入之行
異故朱道至夏至之宿及其所沖皆在黃道正南黑道至冬至之宿及其所沖皆在黃道正北若陰陽歷交在立夏立冬月行青道白道所交則
同而出入之行異故青道至立春之宿及其所沖皆在黃道東南白道至立秋之宿及其所沖皆在黃道西北其大紀皆兼二道而實分主八節(jié)
合于四正四維案陰陽歷中終之所交則月行正當(dāng)黃道去交七日其行九十一度齊于一象之率而得 八行之中八行與中道而九是謂九
道凡八行正于春秋其去黃道六度則交在冬夏正于冬夏其去黃道六度則交在春秋日出入赤道二十四度月出入黃道六度凡月交一終
退前所交一度及余八萬九千七百七十三分度之四萬二千五百三少半積二百二十一月及分七千七百五十三而交道周天矣因而半之
將九年而九道終以四象考之各據(jù)合朔所交入七十二候則其八道之行也以朔交為交初望交為交中若交初在冬至初候而入陰歷則行
青道又十三日七十六分日之四十六至交中得所沖之宿變?nèi)腙枤v亦行青道若交初入陽歷則白道也故考交初所入而周天之度可知若
望交在冬至初候則減十三日四十六分視大云初候陰陽歷而正其行也
?。ǔ迹┑戎敯礉h志始言月有九道八行至唐書言之特詳元史統(tǒng)名白道而無九道之名今術(shù)仍之蓋月道之交黃道亦猶黃道之交赤
道其初交中交如二分半交如二至每交一周則退一度半弱十八年有奇始退黃道一周其所謂陰陽歷者則以黃道之內(nèi)外別之月自南而
北入黃道內(nèi)為陰自北而南出黃道外為陽也漢志以四方之色別黃道之段目語殊簡略唐志與大衍歷議言各不同閱者或反轇轕今為析
之唐志云凡月合朔所交是據(jù)初交言之也 【今法謂之中交】 其云冬在陰歷夏在陽歷月行青道者謂初交在冬至之宿而行陰歷則前
半交自南而北行青道初交在夏至之宿行陽歷則前半交自北而南行青道蓋舉初交及前半交而中交及后半交可知也余仿此大衍議推
陰陽歷交在冬至夏至則月行青道白道所交則同而出入之道異是統(tǒng)交終言之如合朔在冬至之宿而行陰歷則初交自南而北東入青道
中交變?yōu)殛枤v自北而南一周皆青道合朔在夏至之宿而行陽歷則初交自北而南東出青道中交變?yōu)殛帤v自南而北一周皆青道此即天
文志所云冬在陰歷夏在陽歷月行青道也但冬入而夏出為異耳又如合朔在冬至之宿而行陽歷則初交自北而南西出白道中交變?yōu)殛?
歷自南而北一周皆白道合朔在夏至之宿而行陰歷則初交自南而北西入白道中交變?yōu)殛枤v自北而南一周皆白道此即天文志所云冬
在陽歷夏在陰歷月行白道也但冬出夏入為異耳余仿此 以上白道交周
△月離遲疾
元史志古法謂月平行十三度十九分度之七漢耿壽昌以為日月行至牽牛東井日過度月行十五度至婁角始平行赤道使然賈逵以
為今合朔弦望月食加時所以不中者蓋不知月行遲疾李梵蘇統(tǒng)皆以月行當(dāng)有遲疾不必在牽牛東井婁角之閑乃因行道有遠近出入所
生劉洪作干象術(shù)精思二十余年始悟其理列為差率以囿進退損益之?dāng)?shù)后之作術(shù)者咸因之至唐一行考九道委蛇曲折之?dāng)?shù)得月行疾徐
之理先儒謂月與五星皆近日而疾遠日而遲數(shù)家立法以入轉(zhuǎn)一周之日為遲疾二術(shù)各立初末二限初為益末為損在疾初遲末其行率過
于平行遲初疾末率不及于平行自入轉(zhuǎn)初日行十四度半強從是漸殺積七日適及平行度謂之疾初限其積度比平行余五度四十二分自
是其疾日損又積七日行十二度微強向之益者盡損而無余謂之疾末限自是復(fù)行遲度又積七日適及平行度謂之遲初限其積度比平行
不及五度四十二分自此其遲日損行度漸增又厯七日復(fù)行十四度半強向之益者亦損而無余謂之遲末限入轉(zhuǎn)一周實二十七日五十五
刻四十六分遲疾極差皆五度四十二分舊法日為一限皆用二十八限今定驗得轉(zhuǎn)分進退時各不同今分日為十二共三百三十六限半之
為半周限析而四之為象限明崇禎中李天經(jīng)進歷法條議其論太陰曰朔望之外別有損益分一加減不足以盡之蓋舊定太陰平行算朔望
加減大率五度有奇然兩弦時多寡不一即授時亦言朔望平行數(shù)不定明其理未著其法今于加減外再用一加減名為二三均數(shù)其法備載
新法歷書太陰本天之周設(shè)為本輪均輪次輪次均輪凡四而太陰實體則居次均輪之周步朔望則用本輪均輪步兩弦則用次輪步兩弦前
后則用次均輪其本輪心平行度與均輪心所生遲疾之差為初均數(shù)初均數(shù)者所以求初實行也二均數(shù)者次輪所生則次均輪心距次輪最
近點當(dāng)?shù)匦闹且踩鶖?shù)者次均輪所生太陰所實在之處與二均數(shù)相加減為二三均數(shù)又以之加減初實行為白道實行者也又其言各
朔后月夕西見遲疾不一甚有差至三日者其故有三一因月視行度視行為疾段則疾見遲段則遲見一因黃道升降或斜或正正必疾見斜
必遲見一因白道在緯南緯北凡在緯北疾見緯南遲見也
（臣）等謹按太陰之輪有四而本輪乃遲疾四限之所由生其余皆所以消息遲疾之?dāng)?shù)故本輪為步月離之主其初末四限亦猶太陽
之有盈縮四限也西人初測止用本輪以步朔望次輪以步兩弦第谷以其法不能密合太陰之行故于本輪上加一均輪又因兩弦前后之行
不同于兩弦故又于次輪外加一次均輪蓋朔望時太陰在次輪之最近點又在次均輪之最下點而次均輪心又必常在次輪周自地心視之
俱在實行線上經(jīng)度無異故求朔望之初均數(shù)止用均輪不用次輪也兩弦時太陰在次輪之最遠點又在次均輪之上點而次均輪心亦必在
次輪之最遠點故兩弦時止用次輪不用次均輪也至朔望前后及兩弦前后太陰在次輪遠近二點之閑又在次均輪上下二點之閑而次均
輪心亦不在次輪之遠近二點故有次輪與次均輪之相差而或加或減也本輪者所以推本天之高卑而均輪則以消息本輪之行度次輪者
所以定朔望兩弦之遠近而次均輪又以分別朔望兩弦前后之加減故本輪行度合初均輪之倍引而生初均數(shù)分高卑左右而為朔望之加
減差也次輪行度合次均輪之倍離而生二三均數(shù)分遠近上下而為兩弦及兩弦前后之加減差也初均數(shù)之加減差即授時之遲疾差自最
高至最卑六宮為遲歷為減差自最卑至最高六宮為疾歷為加差最高前三宮與后三宮相當(dāng)最卑前三宮與后三宮相當(dāng)其差數(shù)皆相等但
加減異耳求初實行法皆以平行減月孛平行 【月孛即本輪最高點也】 得自變量用直角三角形以本輪半徑之半為對直角之邊以自變量
為一角求得對角之邊三因之 【均輪半徑為本輪半徑之半合本輪均輪半徑則為均輸半徑者三故小邊無問大小皆三因之三之一為
對角之邊三之二即均輪上倍自變量之通弦均輪右旋必倍自變量其理與太陽同】 又求得對余角之邊與半徑相加減復(fù)用直角三角形求得
對小邊之角為初均數(shù)并求得對直角之邊為次輪最近點距地心線為求次均之用以初均數(shù)加減用時太陰平行即初實行也其朔望以外
之加減差為二均三均二均數(shù)之生于次輪全徑與三均數(shù)之生于次均輪之半徑亦猶初均數(shù)之生于本輪及均輪半徑也既得二均三均之
數(shù)復(fù)用三均數(shù)以加減乎二均數(shù)是為二三均數(shù)故求白道實行法以初實行減本日太陽實行得次引用斜弧三角形兩邊夾一角法求得對
通弦之角為二均數(shù)而定其加減號以初均數(shù)與均輪心距最卑之度相加為加減泛限視足九十度與否定加減限并求對角之邊為次均輪
心距地心線又以此線及次引用兩邊夾一角法求得三均數(shù)亦定其加減號 【次引倍度不及半周者月在輪左故加過半周者月在輪右
故減】 乃以二均數(shù)與三均數(shù)相加減為二三均數(shù) 【兩均數(shù)同號則相加異號則相減】 以加減初實行為白道實行 以上月離遲疾
△實朔望
傅仁均戊寅元術(shù)月有三大三小劉孝孫使算學(xué)博士王孝通以甲辰術(shù)法詰仁均曰平朔定朔舊有二家三大三小為定朔望一大一小
為平朔望日月行有遲速相及謂之合會晦朔無定由時消息若定大小皆在朔者合會雖定而蔀元紀首三端并失若上合履端之始下得歸
余于終合會有時則甲辰元術(shù)為通術(shù)矣仁均對曰書云季秋月朔辰弗集于房孔氏云集合也不合則日蝕可知又云先時者殺無赦不及時
者殺無赦既有先后之差是知定朔矣詩云十月之交朔日辛卯又春秋傳曰不書朔官失之也自后術(shù)差莫能詳正故秦漢以來多非朔食宋
御史中丞何承天微欲見意不能詳究乃為散騎侍郎皮延宗等所抑孝通之語乃延宗舊說治數(shù)之本必推上元日月如合璧五星如連珠夜
半甲子朔旦冬至自此七曜散行不復(fù)余分普盡總會如初惟朔分氣分有可盡之理因其可盡即有三端此乃紀其日數(shù)之元爾或以為即夜
半甲子朔冬至者非也冬至自有常數(shù)朔名由于月起月行遲疾匪常三端安得即合故必須日月相合與至同日者乃為合朔冬至耳大衍術(shù)
合朔議曰虞■〈廣刂〉曰所謂朔在會合茍躔次既同何患于頻大也日月相離何患頻小也春秋日蝕不書朔者八公羊曰二日也谷梁曰
晦也左氏曰官失之也劉孝孫推俱得朔日以邱明為是乃與劉焯皆議定朔為有司所抑不得行傅仁均始為定朔而曰晦不東見朔不西朓
?。ǔ迹┑戎敯慈彰咳掌叫幸欢仍旅咳掌叫惺仁欧侄戎吆纤窌r日月同度積弦策七日有奇而月度超前離日一象限是為
上弦又積弦策而月度離日半周天與日對度是為望自此以后月向日行又積弦策而距日一象限是為下弦更積弦策而月追日及之又復(fù)
周度而為合朔矣凡此者皆有常度有常期故謂之經(jīng)朔經(jīng)望經(jīng)弦也乃若定朔定望定弦則有時而后于常期故有加差焉有時而先于常期
故有減差焉凡加差之因有二一因于日度之盈夫日行既越于常度則月不能及一因于月度之遲夫月行既遲于常度則不能及日二者皆
必于常期之外更增時刻而后能及于朔望弦之度故時刻加也減差之因亦有二一因于日度之縮夫日行既緩于常度則月易及之一因于
月度之速夫月行既速于常度則易及于日二者皆不待常期之至而已及于朔望弦之度故時刻減也乃若以日之盈遇月之遲二者皆宜有
加差以日之縮遇月之疾二者皆宜有減差故盈與遲縮與疾并為同名而其度宜并若以日之盈遇月之疾在日宜加在月則宜減以日之縮
遇月之遲在日宜減在月宜加故盈與疾縮與遲并為異名而其度宜相減用其多者主也如上所論既以盈縮遲疾二差同名相從異名相消
則加減差之大數(shù)已定然而又有乘除者上所言者度也非時刻也故必以此所得之度分用每限之時刻乘之為實每限之月行度為法除之
即變?yōu)闀r刻而命為加減差矣 以上實朔望
欽定續(xù)通志卷九十九
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