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情侶博弈和納什均衡

博弈論平話 作者:王則柯


迄今我們講過的博弈均衡,都是嚴(yán)格優(yōu)勢策略均衡。我們已經(jīng)知道,這種由每個(gè)博弈參與人的嚴(yán)格優(yōu)勢策略組成的博弈均衡,可以用一次一次消去嚴(yán)格劣勢策略的“嚴(yán)格劣勢策略消去法”做出來??上В芏嗖┺臎]有嚴(yán)格優(yōu)勢策略組成的嚴(yán)格優(yōu)勢策略均衡。下面的情侶博弈就是一個(gè)例子。

情侶還講什么博弈?你可能這樣問。其實(shí),即使是情侶,雙方的愛好或者偏好還是不完全相同的。設(shè)想大海和麗娟正在熱戀。難得的周末又到了,安排什么節(jié)目好呢?周末晚上,中國足球隊(duì)要在世界杯外圍賽中和伊朗隊(duì)作生死之戰(zhàn)。大海是個(gè)超級(jí)球迷,國內(nèi)的什么“中超”聯(lián)賽都不肯放過,何況是不爭氣的國家隊(duì)的生死大戰(zhàn)?也正好是這個(gè)周末的晚上,俄羅斯一個(gè)著名芭蕾舞劇團(tuán)蒞臨該市演出芭蕾舞劇《胡桃夾子》。麗娟最崇尚鋼琴芭蕾這樣的高雅藝術(shù),對(duì)斯拉夫民族的歌唱和芭蕾更是崇拜得五體投地,她怎么肯放過正宗俄羅斯的芭蕾《胡桃夾子》?這么說,一個(gè)在自己家里看電視轉(zhuǎn)播的足球比賽,一個(gè)去劇院看芭蕾演出不就得了?問題在于,他們是熱戀中的情侶。各自度過這難得的周末時(shí)光,才是最不樂意的事情。這樣一來,他們真是面臨一場溫情籠罩下的“博弈”:

在情侶博弈中,雙方都沒有嚴(yán)格優(yōu)勢策略和嚴(yán)格劣勢策略。我們不妨這樣給大海和麗娟的“滿意程度”賦值:如果大??辞颍岥惥暌粋€(gè)人去看芭蕾,雙方的滿意程度都為0;兩人一起去看足球,大海的滿意程度為2,麗娟的滿意程度為1;兩人一起去看芭蕾,大海的滿意程度為1,麗娟的滿意程度為2。應(yīng)該不會(huì)有麗娟獨(dú)自看球而大海獨(dú)自去看芭蕾的可能,不過人們還是把它寫出來,設(shè)想因此雙方的滿意程度也都是0。這樣來描述大海和麗娟的情侶博弈,你覺得怎么樣?

讀過前一章的讀者知道尋求嚴(yán)格優(yōu)勢策略均衡的嚴(yán)格劣勢策略消去法?,F(xiàn)在,芭蕾不是大海的劣勢策略,因?yàn)槿绻惥陥?jiān)持芭蕾,他選足球只得0,選芭蕾卻還可得1。足球當(dāng)然更不是大海的劣勢策略。所以,大海沒有絕對(duì)的劣勢策略。同樣,麗娟也沒有絕對(duì)的劣勢策略。這樣,嚴(yán)格劣勢策略消去法就沒有用武之地了。

但是,他們總會(huì)作出一個(gè)較好的選擇,因?yàn)樗麄兪菬釕俚那閭H。博弈論中最重要的概念“納什均衡”,指明了情侶博弈等一大類策略優(yōu)勢不那么明顯的博弈的結(jié)局。策略優(yōu)勢不明顯,指的是雙方都沒有“不論對(duì)方采取什么策略我總是采取這個(gè)策略好”的嚴(yán)格優(yōu)勢策略。其實(shí),我們只須關(guān)心一種雙方“相對(duì)的優(yōu)勢策略”的組合。在情侶博弈中,雙方都去看足球,或者雙方都去看芭蕾,就是我們所說的相對(duì)的優(yōu)勢策略的組合:一旦處于這樣的位置,雙方都不想單獨(dú)改變策略,因?yàn)閱为?dú)改變沒有好處。準(zhǔn)確地說,是單獨(dú)改變不會(huì)帶來進(jìn)一步的好處。比方說兩人一起看足球,大海得2麗娟得1;如果大海單獨(dú)改變?nèi)タ窗爬?,變成自己?,沒有好處;如果麗娟單獨(dú)改變?nèi)タ窗爬伲沧兂勺约旱?,同樣沒有好處。所以,兩人一起去看足球,是穩(wěn)定的博弈對(duì)局。按照同樣的思路,兩人一起去看芭蕾,也是穩(wěn)定的博弈對(duì)局。

這樣的思考引導(dǎo)我們得到納什均衡(Nash equilibrium)的概念,納什(John F. Nash)是在1950年建立這一概念的數(shù)學(xué)家,由于對(duì)博弈論作出奠基性的貢獻(xiàn),他在1994年榮獲諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。在情侶博弈中,雙方都去看足球,或者雙方都去看芭蕾,是博弈的兩個(gè)納什均衡。我們在博弈的上述表示中,用黑體數(shù)字表達(dá)兩個(gè)納什均衡的位置。

這里要注意的是,納什均衡不是(2,1)和(1,2),而是(足球,足球)和(芭蕾,芭蕾),因?yàn)榧{什均衡是雙方策略的組合。兩個(gè)納什均衡分別是:大海選足球,麗娟也選足球;麗娟選芭蕾,大海也選芭蕾。我們只是用(2,1)指示大海選足球麗娟也選足球這個(gè)(足球,足球)均衡,用(1,2)指示麗娟選芭蕾大海也選芭蕾這個(gè)(芭蕾,芭蕾)均衡??傊?,兩個(gè)納什均衡是(足球,足球)和(芭蕾,芭蕾),在這兩個(gè)均衡中,博弈雙方的所得分別是(2,1)和(1,2)。我們在前面說過,在(2,1)或者(1,2)這樣的寫法中,第一個(gè)數(shù)字是博弈的“左方參與人”大海之所得,第二個(gè)數(shù)字是博弈的“上方參與人”麗娟之所得。所謂左方參與人,就是寫在博弈表格左邊的參與人;所謂上方參與人,就是寫在博弈表格上方的參與人。

這一節(jié)我們借助情侶博弈引入博弈論最重要的概念—納什均衡。因?yàn)榻^對(duì)優(yōu)勢策略一定是相對(duì)優(yōu)勢策略,所以很顯然,前一章討論囚徒困境那樣的博弈時(shí)建立的嚴(yán)格優(yōu)勢策略均衡,也都屬于現(xiàn)在引入的納什均衡。但是,納什均衡卻不一定是嚴(yán)格優(yōu)勢策略均衡。一句話,納什均衡的概念要求比較寬,比較低,嚴(yán)格優(yōu)勢策略均衡的概念要求比較高,比較窄。

情侶博弈原來的標(biāo)準(zhǔn)說法是性別之戰(zhàn)(battle of sexes),說的是恩愛夫妻的偏好差異所引起的對(duì)局形勢,是利益關(guān)系方面雙方大同小異這么一種情況。不同的說法適合不同的情形,讀者可以有自己的偏好。


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