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2.3 鋼筋混凝土受彎構(gòu)件正截面承載力計(jì)算

2.3.1 受彎構(gòu)件正截面承載力計(jì)算的基本假定

1.基本假定

正截面承載力計(jì)算的基本假定包括：

（1）截面應(yīng)變保持平面。

（2）不考慮混凝土的抗拉強(qiáng)度。

（3）混凝土受壓的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系已知。

目前我國(guó)現(xiàn)行《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》所采用的鋼筋、混凝土應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系如圖2.3-1、圖2.3-2所示。

圖2.3-1 鋼筋應(yīng)力-應(yīng)變曲線

圖2.3-2 混凝土應(yīng)力-應(yīng)變曲線

鋼筋應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系采用理想的彈塑性本構(gòu)關(guān)系，σ_s＜f_y時(shí)是彈性的，σ_s=f_y時(shí)是理想塑性的；混凝土的應(yīng)力-應(yīng)變曲線由兩段組成。

當(dāng)ε_c≤ε₀時(shí)

當(dāng)ε₀＜ε_c≤ε_cuσ_c=f_c

式中 σ_c——混凝土壓應(yīng)變?yōu)?span >ε_c時(shí)的混凝土壓應(yīng)力；

f_c——混凝土軸心抗壓強(qiáng)度設(shè)計(jì)值；

ε₀——混凝土壓應(yīng)力達(dá)到f_c時(shí)的混凝土壓應(yīng)變，ε₀=0.002+0.5（f_cu，k-50）×10^-5，當(dāng)計(jì)算的ε₀值小于0.002時(shí)，取為0.002；

ε_cu——正截面的混凝土極限壓應(yīng)變，當(dāng)處于非均勻受壓時(shí)，ε_cu=0.0033-（f_cu，k-50）×10^-5，如計(jì)算的ε_cu值大于0.0033，取為0.0033；當(dāng)處于軸心受壓時(shí)取為ε₀；

f_cu，k——混凝土立方體抗壓強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值；

n——系數(shù)， ，當(dāng)計(jì)算的n值大于2.0時(shí)，取為2.0。

2.適筋梁與超筋梁的分界

適筋梁與超筋梁的分界可用兩種方式表達(dá)，即：ρ=ρ_b或ξ=ξ_b。

（1）相對(duì)界限受壓區(qū)高度ξ_b。適筋梁與超筋梁的分界如圖2.3-3中的界限破壞所示，即梁受拉鋼筋屈服的同時(shí)受壓區(qū)混凝土達(dá)到極限壓應(yīng)變。設(shè)鋼筋屈服時(shí)的應(yīng)變?yōu)?span >ε_y，則 。

設(shè)界限破壞時(shí)中和軸高度為x_0b，則根據(jù)平截面假定可得：

令x_b為界限破壞時(shí)等效矩形應(yīng)力圖形上的受壓區(qū)高度， 代入上式可得：

圖2.3-3 適筋梁、超筋梁、界限配筋梁破壞時(shí)的正截面平均應(yīng)變圖

相對(duì)界限受壓區(qū)高度 ，代入上式可得：

式中 f_y——鋼筋抗拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值；

E_s——鋼筋彈性模量；

ε_cu——非均勻受壓時(shí)的混凝土極限壓應(yīng)變，混凝土強(qiáng)度等級(jí)小于等于C50時(shí)ε_cu=0.0033，大于C50時(shí)ε_cu=0.0033-（f_cu，k-50）×10^-5；

β₁——與混凝土強(qiáng)度相關(guān)的系數(shù)，當(dāng)混凝土強(qiáng)度等級(jí)小于等于C50時(shí)β₁=0.8，C80時(shí)β₁=0.74，其間按線性內(nèi)插法確定。

為便于設(shè)計(jì)，表2.3-1給出了相對(duì)界限受壓區(qū)高度ξ_b的取值。

表2.3-1 相對(duì)界限受壓區(qū)高度ξ_b取值

對(duì)于無(wú)明顯屈服點(diǎn)的鋼筋，鋼筋的屈服應(yīng)變由名義屈服應(yīng)變代替（應(yīng)考慮殘余應(yīng)變0.002的影響），即

（2）界限配筋率ρ_b。界限配筋率即為適筋梁的最大配筋率，當(dāng)ξ=ξ_b時(shí)所對(duì)應(yīng)的配筋率ρ_b就是界限配筋率。ρ_b可以由圖2.3-4力的平衡關(guān)系得出：

α₁f_cbx_b=A_sf_y=ρ_bbh₀f_y

所以

如果去掉腳標(biāo)b就可得出適筋梁配筋率ρ與相對(duì)受壓區(qū)高度的關(guān)系即 。式中α₁的取值與混凝土強(qiáng)度等級(jí)有關(guān)，當(dāng)混凝土強(qiáng)度等級(jí)不超過(guò)C50時(shí)，取α₁=1.0；當(dāng)混凝土強(qiáng)度等級(jí)為C80時(shí)，取α₁=0.94，其間按線性內(nèi)插法確定。

圖2.3-4 界限破壞時(shí)的應(yīng)力圖

2.3.2 單筋矩形截面正截面受彎承載力計(jì)算

1.基本公式及適用條件

（1）基本公式。單筋矩形截面正截面受彎承載力計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖2.3-5所示。由力的平衡關(guān)系可得：

α₁f_cbx=A_sf_y （2.3-5）

由力矩平衡可得：

（2）適用條件

ξ≤ξ_b

或

《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》（GB 50010—2010）規(guī)定ρ_min應(yīng)取0.2%和45 中的較大值。

圖2.3-5 單筋矩形截面正截面受彎承載力計(jì)算簡(jiǎn)圖

經(jīng)濟(jì)配筋率的范圍為：

板 ρ=0.4%～0.8%

矩形梁 ρ=0.6%～1.5%

T形梁 ρ=0.9%～1.8%（相對(duì)于腹板）。

2.單筋矩形截面配筋設(shè)計(jì)

根據(jù)式（2.3-5）、式（2.3-6）或式（2.3-7）就可以進(jìn)行截面配筋設(shè)計(jì)。為了設(shè)計(jì)方便，式（2.3-6）、式（2.3-7）可寫成：

M=A_sf_yh₀ （1-0.5ξ）

令 α_s=ξ（1-0.5ξ） （2.3-8）

γ_s=1-0.5ξ （2.3-9）

則 M=α₁α_sf_cbh²₀ （2.3-10）

或 M=A_sf_yγ_sh₀ （2.3-11）

截面配筋設(shè)計(jì)時(shí)經(jīng)常遇到以下兩種情況：

（1）已知M、b、h、f_c、f_y、…，求A_s

解：①計(jì)算

②計(jì)算ξ

由式（2.3-8）可得 ，應(yīng)不大于ξ_b

③計(jì)算配筋率ρ ，應(yīng)滿足

④計(jì)算A_s

A_s=ρbh₀

⑤繪制配筋圖

設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)盡量使受彎構(gòu)件的配筋率落在經(jīng)濟(jì)配筋率范圍之內(nèi)，如按（4）計(jì)算的ρ值與經(jīng)濟(jì)配筋率相差較大也可重新選擇b、h重復(fù)（1）～（4）。

（2）已知M、b、f_c、f_y、…，求A_s

解：①先假定ρ，使ρ落在經(jīng)濟(jì)配筋率范圍之內(nèi)。

②根據(jù)配筋率ρ與ξ的關(guān)系求ξ

③計(jì)算α_s

α_s=ξ（1-0.5ξ）

④由式（2.3-10）求h₀

⑤計(jì)算h

h=h₀+a_s

計(jì)算出的h取整后（宜符合模數(shù)），變?yōu)橐阎?span >b、h求A_s的情況。當(dāng)實(shí)際取的h值大于由第5步計(jì)算的h值時(shí)也可不必重新計(jì)算而直接取A_s=ρbh₀。

【例2.3-1】 一矩形截面簡(jiǎn)支梁b×h=200mm×500mm，計(jì)算跨度l=6m，承受均布活荷載標(biāo)準(zhǔn)值q_k=12kN/m，均布恒荷載標(biāo)準(zhǔn)值g_k=10kN/m（不含自重），結(jié)構(gòu)安全等級(jí)為二級(jí)，試進(jìn)行截面配筋設(shè)計(jì)。

解答：選C30級(jí)混凝土，f_c=14.3MPa；HRB400級(jí)鋼筋，f_y=360MPa。結(jié)構(gòu)安全等級(jí)為二級(jí)，γ₀=1.0。恒載分項(xiàng)系數(shù)γ_G=1.2；活載分項(xiàng)系數(shù)γ_Q=1.4。

梁自重標(biāo)準(zhǔn)值 g_k′=25×0.2×0.5×1kN/m=2.5kN/m（鋼筋混凝土容重取25kN/m³）

簡(jiǎn)支梁跨中彎矩設(shè)計(jì)值：

，實(shí)配 ，A_s=1140mm²。

如圖2.3-6所示。

【例2.3-2】 一矩形截面簡(jiǎn)支梁承受彎矩設(shè)計(jì)值M=230kN·m，采用C20級(jí)混凝土，fc=9.6MPa，HRB400級(jí)鋼筋，f_y=360MPa。試確定梁截面尺寸及配筋。

解答：選b=250mm，假設(shè)ρ=1%

則

實(shí)取h=600mm。

因?qū)嶋H所取梁高與設(shè)計(jì)所取梁高相差很小，故不必按b×h=200mm×600mm重新計(jì)算A_s，而可直接取A_s=ρbh₀=1%×250×565mm²=1413mm²。實(shí)配3 25，A_s=1473mm²

如果實(shí)際選取梁高（宜符合模數(shù)）與計(jì)算梁高相差較大，則應(yīng)按已知b、h的情況求A_s。

【例2.3-3】 已知一單跨簡(jiǎn)支板，板厚120mm，板上有30mm厚水泥砂漿找平層，板的計(jì)算跨度為4.2m，板上活荷載標(biāo)準(zhǔn)值q_k=2kN/m²，混凝土采用C30級(jí)，鋼筋采用HPB300，試進(jìn)行截面配筋。

解答：取板寬b=1000mm的板條作為計(jì)算單元。安全等級(jí)按二級(jí)考慮，γ₀=1.0

恒載分項(xiàng)系數(shù)γ_G=1.2；活載分項(xiàng)系數(shù)γ_Q=1.4

恒載標(biāo)準(zhǔn)值g_k=（1×1×0.12×25+1×1×0.03×20）kN/m=3.6kN/m

圖2.3-6 配筋圖

（鋼筋混凝土容重取25kN/m³，砂漿容重取20kN/m³）

設(shè)計(jì)彎矩

A_s=ρbh₀=0.006×1000×100mm²=600mm²。實(shí)配 10@130，A_s=604mm²。構(gòu)造筋選用 8@200，如圖2.3-7所示。

圖2.3-7 簡(jiǎn)支板配筋圖

2.3.3 雙筋矩形截面正截面受彎承載力計(jì)算

1.概述

一般情況下用鋼筋承擔(dān)壓力是不經(jīng)濟(jì)的，但遇下列情況之一則可考慮使用雙筋：

（1）截面所承受的彎矩較大，且截面的高度受到限制，此時(shí)若采用單筋則會(huì)出現(xiàn)超筋現(xiàn)象。

（2）同一截面在不同荷載組合下出現(xiàn)正、負(fù)號(hào)彎矩。

（3）壓區(qū)配置受壓鋼筋可增加截面的延性，減小徐變，對(duì)抗震有利。

圖2.3-8 雙筋截面計(jì)算簡(jiǎn)圖

2.基本公式及適用條件

雙筋矩形截面受彎承載力的計(jì)算公式可以根據(jù)圖2.3-8所示的計(jì)算簡(jiǎn)圖由力和力矩的平衡條件得出：

式中 α_s=ξ（1-0.5ξ）

基本公式的適用條件是：

1.ξ≤ξ_b

該條件是避免超筋的條件，保證受拉區(qū)鋼筋先屈服，然后混凝土被壓碎。

2.x≥2a′_s

如不滿足第二個(gè)條件，即x＜2a_s′，則假定受壓區(qū)混凝土的合力C通過(guò)受壓鋼筋A_s′的重心，此時(shí)可以直接對(duì)A_s′取矩求出受拉鋼筋A_s。

M=A_sf_y（h₀-a′_s）

所以

3.雙筋截面配筋設(shè)計(jì)

在雙筋截面的配筋設(shè)計(jì)時(shí)經(jīng)常會(huì)碰到以下兩種情況：

（1）已知M、b、h、f_c、f_y、f′_y

求 A_s、A_s′

解：①判斷是否需要采用雙筋

如 M＞α₁f_cξ_b（1-0.5ξ_b）bh²₀，則需采用雙筋。

②充分利用混凝土受壓

令ξ=ξ_b或x=ξ_bh₀，由式（2.3-13）求A_s′

③由式（2.3-12）求As

（2）已知M、b、h、f_c、f_y、f′_y、A′_s

求 A_s

解：①求α_s

由式（2.3-13）得

②求ξ、x

所求得的ξ值應(yīng)小于等于ξ_b，不滿足此要求，則可增加A′_s或增大截面尺寸（如允許的話）。

x=ξh₀，如果x≥2a_s′，由式（2.3-12），得

如果x＜2a_s′，由式（2.3-14），得

【例2.3-4】 已知矩形截面梁b×h=200mm×500mm，承受彎矩設(shè)計(jì)值M=260kN·m，混凝土采用C30，鋼筋采用HRB400，ξ_b=0.518。試進(jìn)行配筋設(shè)計(jì)。

解答：f_c=14.3MPa，f_y=360MPa，假定受拉鋼筋為兩排，則a_s=60mm，先按單筋計(jì)算。

由計(jì)算可知：如果采用單筋則會(huì)產(chǎn)生超筋現(xiàn)象，故應(yīng)按雙筋計(jì)算。

令ξ=ξ_b 由式（2.3-13）可得：

由式（2.3-12）得

實(shí)配受壓筋為2 16 A_s′=402mm²

受拉筋為6 22（兩排）A_s=2281mm²

【例2.3-5】 已知條件同【例2.3-4】，假定受壓筋A_s′為2 20（A_s′=628mm²），求A_s

解答：由式（2.3-13）得：

由式（2.3-12）得：

實(shí)配受拉筋為4 25 A_s=1964mm²

比較【例2.3-4】和【例2.3-5】可以得出前者總鋼筋用量為（326+2137）mm²=2463mm²，后者總鋼筋用量為（628+1935）mm²=2563mm²。也就是說(shuō)當(dāng)充分利用混凝土承擔(dān)壓力，即令ξ=ξ_b（或x=ξ_bh₀）時(shí)總用鋼量相對(duì)較少。

【例2.3-6】 某鋼筋混凝土簡(jiǎn)支梁，安全等級(jí)為二級(jí)。梁截面250mm×600mm，混凝土強(qiáng)度等級(jí)C30，縱向受力鋼筋均采用HRB400級(jí)鋼筋，箍筋采用HPB300級(jí)鋼筋，梁頂及梁底均配置縱向受力鋼筋，a_s=a_s′=40mm。相對(duì)界限受壓區(qū)高度ξ_b=0.518。

1.已知：梁頂面配置了2 16受力鋼筋，梁底鋼筋可按需要配置。試問，如充分考慮受壓鋼筋的作用，計(jì)算梁跨中可以承受的最大正彎矩設(shè)計(jì)值M。

解答：h₀=（600-40）mm=560mm ξ_b=0.518

當(dāng)x=ξ_bh₀=0.518×560mm=290.1mm時(shí)，抗彎承載力設(shè)計(jì)值為最大。

按式（2.3-13）（《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》（GB 50010—2010）式（6.2.10-1））：

M≤α₁f_cbx（h₀-x/2）+f_y′A_s′（h₀-a_s′）

=1×14.3×250×290.1×（560-290.1/2）+360×2×201×（560-40）

=506×10⁶N·mm=506kN·m

2.已知：梁底面配置了4 25受力鋼筋，梁頂面鋼筋可按需要配置。試問，如充分考慮受壓鋼筋的作用，計(jì)算此梁跨中可以承受的最大正彎矩設(shè)計(jì)值M。

解答：根據(jù)圖2.3-8（《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》（GB 50010—2010）圖6.2.10），滿足x≥2a_s′時(shí)，對(duì)受壓鋼筋合力點(diǎn)取矩，得到：

x=2a_s′時(shí)，M最大。

M=360×4×491×（600-40-40）N·mm=368×10⁶N·mm=368kN·m

2.3.4 T形截面正截面受彎承載力計(jì)算

1.T形、I形及倒L形截面受彎構(gòu)件翼緣計(jì)算寬度b_f′的取值

T形、I形及倒L形截面受彎構(gòu)件翼緣計(jì)算寬度b_f′的具體取值如表2.3-2所示。

表2.3-2 T形、I形及倒L形截面受彎構(gòu)件翼緣計(jì)算寬度b_f′

注：1.表中b為腹板寬度。

2.肋形梁在梁跨內(nèi)設(shè)有間距小于縱肋間距的橫肋時(shí)，則可不考慮表中情況3的規(guī)定。

3.加腋的T形、I形和倒L形截面，當(dāng)受壓區(qū)加腋的高度h_h≥h′_f且加腋的寬度b_h≤3h_h時(shí)，其翼緣計(jì)算寬度可按表中情況3的規(guī)定分別增加2b_h（T形、I形截面）和b_h（倒L形截面）。

4.獨(dú)立梁受壓區(qū)的翼緣板在荷載作用下經(jīng)驗(yàn)算沿縱肋方向可能產(chǎn)生裂縫時(shí)，其計(jì)算寬度應(yīng)取腹板寬度b。

2.基本公式及適用條件

T形梁有兩種類型，第一種類型為中和軸在翼緣內(nèi)，即x≤h_f′；第二種類型為中和軸在梁肋內(nèi)，即x＞h_f′。

（1）第一類T形（假T形） 第一類T形中和軸在翼緣內(nèi)，x≤h_f′，此類T形與b_f′×h的矩形完全相同（如圖2.3-9所示），基本計(jì)算公式與矩形截面完全相同，只是用b_f′代替矩形截面計(jì)算公式中的b。

基本計(jì)算公式為

圖2.3-9 第一類T形截面

設(shè)計(jì)步驟為

（2）第二類T形（真T形） 第二類T形中和軸在梁肋內(nèi)，x＞h_f′，如圖2.3-10所示。此類T形的受彎承載力計(jì)算基本公式仍可由力的平衡和力矩平衡得出。

圖2.3-10 第二類T形截面

基本計(jì)算公式為

ΣX=0 α₁f_cbx+α₁f_c（b′_f-b）h′_f=A_sf_y （2.3-17）

式（2.3-18）也可以寫成

3.兩類T形截面的判別方法

如何判斷T形截面是屬于第一類T形還是第二類T形，應(yīng)根據(jù)設(shè)計(jì)和校核兩種不同情況采用不同的方法。

（1）截面配筋設(shè)計(jì)時(shí)

當(dāng) ，即x≤h_f′時(shí)，為第一類T形，即假T形，按b′_f×h的矩形截面計(jì)算。

反之，當(dāng) ，即x＞h_f′時(shí)，為第二類T形，即真T形，按式（2.3-18）、式（2.3-19）計(jì)算。

（2）截面受彎承載力校核時(shí)

截面承載力校核時(shí)，A_s為已知。當(dāng)A_sf_y≤α₁f_cb_f′h_f′時(shí)，即x≤h_f′，為第一類T形。

反之，當(dāng)A_sf_y＞α₁f_cb_f′h_f′時(shí)，即x＞h′_f為第二類T形。

4.截面配筋設(shè)計(jì)

已知M、b_f′（根據(jù)表2.3-2選定）、h_f′、b、h、f_c、f_y，求A_s

解：（1）首先判定屬于哪一類T形

如 時(shí)，則屬于第一類T形，此時(shí)可按b_f′×h的矩形截面計(jì)算。

如 時(shí)，則屬于第二類T形。

（2）第一、二類T形的配筋計(jì)算

①第一類T形 可按b_f′×h的矩形截面計(jì)算，其步驟如下：

②第二類T形

由式（2.3-19）求

由式（2.3-17）得：A

5.正截面承載力校核

正截面承載力校核應(yīng)按如下步驟進(jìn)行：

（1）先判斷T形的類別。

（2）求混凝土受壓區(qū)高度。

（3）求正截面承載力M_u。

（4）比較設(shè)計(jì)彎矩M與M_u的關(guān)系。

如M≤M_u 則證明滿足承載力要求，反之則不滿足承載力要求。

【例2.3-7】 已知一鋼筋混凝土現(xiàn)澆樓蓋，梁的計(jì)算跨度為6.6m，間距為3m，截面尺寸如圖2.3-11所示，混凝土采用C20，鋼筋采用HRB400，樓面可變荷載標(biāo)準(zhǔn)值為2kN/m²，求此梁的受拉鋼筋面積A_s。

圖 2.3-11

解答：1.荷載及內(nèi)力計(jì)算

砂漿容重按20kN/m³計(jì)算，鋼筋混凝土容重按25kN/m³計(jì)算。

30厚水泥砂漿 0.6kN/m2

80厚鋼筋混凝土板 2kN/m²

15厚天棚灰 0.3kN/m²

樓面永久荷載總計(jì)Σ 2.9kN/m²

鋼筋混凝土梁自重 0.25×（0.55-0.08）×1×25kN/m=2.94kN/m

樓面可變荷載 2kN/m²

永久荷載分項(xiàng)系數(shù)γ_G=1.2，可變荷載分項(xiàng)系數(shù)γ_Q=1.4

設(shè)計(jì)彎矩

2.確定翼緣計(jì)算寬度b_f′

由表2.3-2可知

按梁計(jì)算跨度考慮 ；

按梁凈距s_n考慮 b′_f=b+s_n=3m；

按翼緣高度h_f′考慮 h_f′/h₀=80/515=0.155＞0.1，故b_f′不受此條件限制。

取上述b_f′小者，故b_f′=2.2m。

3.判斷T形類別

C20混凝土f_c=9.6MPa；HRB400鋼筋f_y=360MPa。

故屬于第一類T形。

4.配筋計(jì)算

實(shí)配3 18，A_s=763mm²

【例2.3-8】 一T形截面簡(jiǎn)支梁，截面尺寸如圖2.3-12所示，承受彎矩設(shè)計(jì)值M=260kN·m，混凝土采用C20，鋼筋采用HRB400，求縱向受拉鋼筋A_s。

解答：1.判斷T形截面類型

故為第二類T形。

2.配筋計(jì)算

由式（2.3-19）

圖 2.3-12

由式（2.3-17）

實(shí)配6 18 A_s=1526mm²

【例2.3-9】 已知T形截面尺寸同【例2.3-7】，梁下部配有兩排受拉鋼筋，受拉鋼筋數(shù)量為6 22，該截面承受的設(shè)計(jì)彎矩為M=350kN·m，試校核該梁是否安全。

解答：1.判斷T梁類型

A_sf_y=2281×360N=821160N＞α₁f_cb′_fh′_f=1.0×9.6×500×100N=480000N

故屬于第二類T形。

2.求M_u

由式（2.3-17）得

由式（2.3-18）得

3.結(jié)論

M=350kN·m＜M_u=361.0kN·m安全（指正截面承載力）